Des méthodes pour évaluer les actifs financiers et leurs risques
Le projet était axé sur la notion de volatilité, c'est-à-dire sur la variation quadratique du processus de prix de l'actif concerné. Les évolutions des processus de prix sont modélisées par des fonctions qui utilisent un exposant de Hölder de un demi, et qui servent de base à la théorie d'arbitrage des prix et de la couverture des instruments dérivés. Des éléments expérimentaux suggèrent également que le «véritable» exposant essentiel, ou plutôt son estimation statistique, est légèrement supérieur à 0,5 mais notablement inférieur à 1. L'hypothèse d'un exposant de Hölder différent de 0,5 débouche sur différents modèles, tels que le mouvement brownien fractionnaire, proposé il y a plus de 50 ans par B. Mandelbrot. Toutefois, du fait qu'ils autorisent un arbitrage, ces modèles ne sont pas adaptés à la théorie d'absence d'opportunités d'arbitrage, appliquée de manière assez réussie au domaine économique. Le projet RIVAL (Risk and valuation of financial assets: A robust approach) a mis au point une méthode permettant de concilier les deux approches en introduisant des coûts de transaction. Elle a déjà montré que l'hypothèse de coûts de transaction arbitrairement faibles libère de tout arbitrage des modèles tels que le mouvement brownien fractionnaire. Bien qu'il ne soit pas pertinent de reproduire ce concept dans le domaine économique en raison des coûts de transaction hypothétiques, le concept d'optimisation de portefeuille est toutefois plus approprié du point de vue mathématique et économique. On suppose qu'un prix virtuel est associé au problème d'optimisation de portefeuille, en cas d'application de coûts de transaction. Bien que le processus de prix initial soit parfois dépourvu de volatilité, le prix virtuel est quant à lui toujours volatil. En outre, un lien peut être établi entre les deux approches puisque le portefeuille optimal du processus de prix original avec coûts de transaction est équivalent au portefeuille optimal du processus de prix virtuel sans coût de transaction. Ce résultat a également une conséquence mathématique, puisque pour un mouvement brownien fractionnaire donné, on peut observer un processus de diffusion unilatérale au niveau des parcours du mouvement brownien fractionnaire. Fait surprenant, aucune réflexion ou heure locale n'est impliquée au niveau mathématique. Ce résultat est considéré comme le parfait exemple d'une connaissance purement mathématique issue d'un problème largement appliqué. Les résultats du projet ont été publiés dans une série de quatre articles en même temps que ceux d'un autre projet de post-doctorat, dont un a également été publié avec un troisième projet de post-doctorat.
Mots‑clés
Actif financier, risque, évaluation, volatilité, théorie d'arbitrage, RIVAL, coûts des transactions
