La régularité dans les mathématiques spatiale et des flux
Les équations complexes de Monge-Ampère jouent un rôle fondamental en géométrie complexe. L'équation géodésique sur l'espace de la métrique de Kähler est un exemple d'équation de Monge-Ampère complexe et homogène (HCMAE, pour homogeneous complex Monge-Ampère equation). Cette équation relie l'étude de la géométrie Kählérienne à courbure scalaire constante à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson. Dans ce type d'applications, la régularité de la solution est souvent essentielle. Notre connaissance incomplète de la régularité des solutions de l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène constitue un obstacle sérieux pour son utilisation en géométrie complexe. Il existe un lien remarquable entre certaines géodésiques de la géométrie kählérienne (c'est-à-dire des solutions à l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène) et les écoulements de Hele-Shaw entre deux plaques. L'objectif global du projet GEODESICRAYS (From geodesic rays in spaces of Kahler metrics to the Hele-Shaw flow) était d'utiliser ce lien pour développer la théorie de régularité pour l'écoulement de Hele-Shaw et l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène. Le projet a étudié le processus par lequel des solutions à l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène, telles que les géodésiques de la métrique de Kähler, développent des singularités. Il a démontré qu'il existe une dualité entre les écoulements de Hele-Shaw et certaines solutions de l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène sur le produit cartésien de la sphère de Riemann et le disque unité. Il a également montré qu'en utilisant la dualité, les disques harmoniques des solutions à l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène correspondent exactement aux domaines de Hele-Shaw à connexion simple. Cela a permis la construction d'exemples où les disques harmoniques étaient très loin d'effectuer un feuilletage de l'espace, contredisant ainsi les précédents résultats de Chen et Tian. L'abondance des disques harmoniques est un moyen de mesurer la régularité d'une solution à l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène. Une autre méthode consiste à examiner l'ensemble où la solution échoue à être deux fois dérivable. En utilisant les résultats de régularité préliminaires, il a été possible de bâtir des solutions échouant à être deux fois dérivables pour des ensembles spécifiés tels qu'un segment de courbe. Le principal impact du projet a été la contribution à la théorie de la régularité pour les équations de Monge-Ampère complexes et homogènes. Les résultats prouvent que la théorie de la régularité partielle préliminaire développée par Chen et Tian est fondamentalement erronée. Cela change considérablement notre compréhension de l'équation de Monge-Ampère complexe et homogène.
Mots‑clés
Géométrie complexe, métrique de Kähler, équation homogène complexe de Monge-Ampère, flux de Hele-Shaw, conjecture Yau-Tian-Donaldson, produit cartésien, sphère de Riemann
