Eine mathematische Regularität von Raum und Fluss
Komplexe monge-ampèresche Gleichungen spielen eine grundlegende Rolle im Bereich der komplexen Geometrie. Die geodätische Gleichung zu einer Fläche mit kählerscher Metrik ist ein Beispiel für eine homogene komplexe monge-ampèresche Gleichung (homogeneous complex Monge-Ampère equation, HCMAE). Diese Gleichung verbindet die Untersuchung konstanter Skalarkrümmungen mit kählerscher Metrik mit der Yau-Tian-Donaldson-Konjektur. In diesen Anwendungsbereichen ist die Regularität der Lösung oftmals von entscheidender Bedeutung. Das unvollständige Wissen um die Regularität von Lösungen für homogene komplexe monge-ampèresche Gleichungen ist ein großes Hindernis für eine erfolgreiche Verwendung von homogenen komplexen monge-ampèreschen Gleichungen im Bereich der komplexen Geometrie. Es gibt eine auffällige Verbindung zwischen bestimmten geodätischen Aspekten der kählerschen Metrik (d. h. HCMAE-Lösungen) und dem Hele-Shaw-Flüssigkeitsfluss zwischen zwei Scheiben. Das oberste Ziel des Projekts GEODESICRAYS (From geodesic rays in spaces of Kahler metrics to the Hele-Shaw flow) bestand darin, diese Verbindung dazu zu verwenden, die Regularitätstheorie für den Hele-Shaw-Fluss und für homogene komplexe monge-ampèresche Gleichungen zu entwickeln. Im Rahmen des Projekts wurden Prozesse untersucht, bei denen Lösungen auf die homogenen komplexen monge-ampèreschen Gleichungen, wie z. B. Geodäten mit kählerscher Metrik, Singularitäten bilden. Es wurde gezeigt, dass es eine Dualität zwischen Hele-Shaw-Flüssen und bestimmten HCMAE-Lösungen bezüglich des kartesischen Produkts der riemannschen Zahlenkugel und der Einheitsscheibe gibt. Unter Verwendung dieser Dualität wurde ebenfalls gezeigt, dass harmonische Scheiben bezüglich der Lösungen auf die homogene komplexe monge-ampèresche Gleichung genau den einfach verbundenen Hele-Shaw-Domänen entsprechen. Dies ermöglichte die Konstruktion von Beispielen, bei denen die harmonischen Scheiben weit von einer Flächenblätterung entfernt waren und die somit den vorhergehenden Ergebnissen von Chen und Tian widersprechen. Das zahlreiche Vorkommem harmonischer Scheiben ist ein Weg, um die Regularität einer Lösung auf eine homogene komplexe monge-ampèresche Gleichung zu messen. Ein anderer Weg besteht darin, eine Anordnung zu betrachten, bei der die Lösung nicht zweimal differenzierbar ist. Unter Nutzung der vorherigen Kurzzeit-Regularitätsergebnisse war es möglich, Lösungen zu erstellen, die bei bestimmten Anordnungen wie z. B. einem Kurvensegment nicht zweimal differenzierbar sind. Die wichtigste Errungenschaft des Projekts war es, einen Beitrag zur HCMAE-Regularitätstheorie geleistet zu haben. Die Resultate bestätigen, dass die vorhergehende Theorie zur partiellen Regularität von Chen und Tian grundlegende Fehler aufweist. Dies verändert das Verständnis von homogenen komplexen monge-ampèreschen Gleichungen in erheblicher Weise.
Schlüsselbegriffe
Komplexe Geometrie, kählersche Metrik, homogene komplexe monge-ampèresche Gleichung, Hele-Shaw-Fluss, Yau-Tian-Donaldson-Konjektur, kartesisches Produkt, riemannsche Zahlenkugel