La regolarità nella matematica di spazio e flusso
Le complesse equazioni di Monge-Ampère svolgono un ruolo fondamentale nella geometria complessa. L’equazione geodetica sullo spazio delle metriche di Kähler è un esempio di una equazione omogenea complessa di Monge-Ampère (HCMAE). Tale equazione collega lo studio della metrica di Kähler della curvatura scalare costante alla congettura di Yau-Tian-Donaldson. In tali applicazioni la regolarità della soluzione è spesso essenziale. La nostra conoscenza incompleta della regolarità delle soluzioni per le HCMAE costituisce un serio ostacolo per il successo nell’uso delle HCMAE stesse nella geometria complessa. Esiste un collegamento sorprendente tra alcune geodetiche di metriche Kähler (ad es. le soluzioni delle HCMAE) e il flusso di Hele-Shaw di liquidi tra due piastre. L’obiettivo generale del progetto GEODESICRAYS (From geodesic rays in spaces of Kahler metrics to the Hele-Shaw flow) era quello di utilizzare questa connessione per sviluppare la teoria della regolarità per il flusso di Hele-Shaw e le HCMAE. Il progetto ha studiato il processo in cui le soluzioni alle HCMAE, come le geodetiche di metriche Kähler, sviluppano singolarità. È stato dimostrato che vi è una dualità tra flussi Hele-Shaw e talune soluzioni di HCMAE sul prodotto cartesiano della sfera di Riemann e del disco unitario. È stato anche dimostrato, con la dualità, che i dischi armonici delle soluzioni delle HCMAE corrispondono esattamente ai domini di Hele-Shaw semplicemente connessi. Ciò ha permesso la costruzione di esempi i cui dischi armonici erano molto lontani dal fogliettare lo spazio, quindi in contraddizione con i risultati precedenti di Chen e Tian. L’abbondanza di dischi armonici è un modo per misurare la regolarità della una soluzione di una HCMAE. Un altro metodo è quello di prendere in considerazione il set in cui la soluzione non riesce a essere due volte differenziabile. Utilizzando i precedenti risultati di regolarità a breve termine era possibile costruire soluzioni che non riescono a essere due volte differenziabili nei set specificati, come un segmento di curva. L’impatto principale del progetto è stato il contributo alla teoria della regolarità per le HCMAE. I risultati dimostrano che la precedente teoria della regolarità parziale di Chen e Tian è fondamentalmente errata. Ciò cambia drasticamente la comprensione delle HCMAE.
Parole chiave
Geometrie complessa, metriche di Kähler, equazione di Monge-Ampère del complesso omogeneo, flusso di Hele-Shaw, congettura di Yau-Tian-Donaldson, prodotto cartesiano, sfera di Riemann
