Les mathématiques des processus ayant des étapes rapides et lentes
Le projet SINGPERTDYNSYS (Singularly perturbed dynamical systems) s'est intéressé aux systèmes singulièrement perturbés (ou systèmes dynamiques lents-rapides) comme le taux d'une réaction chimique impliquant plusieurs molécules. Ces systèmes ont souvent des variables qui évoluent avec des échelles de temps différentes. Le premier objectif du projet était de comprendre les motifs oscillants. Les chercheurs ont progressé dans la compréhension des mécanismes sous-jacents aux modèles de réactions autocatalytiques. Ceci pourrait les aider à résoudre un problème en suspens depuis longtemps, relatif aux modèles lents-rapides de la réaction oxydase-peroxydase. En outre, ces avancées sont pertinentes pour l'interaction entre les perturbations aléatoires et les motifs d'oscillation. Les chercheurs ont étudié le rôle des petits paramètres et l'interaction entre les paramètres. Pour le cas aléatoire, leurs travaux ont conduit à de nombreuses applications inattendues, dans la nouvelle théorie des signes précurseurs. Un autre objectif du projet, en relation avec le premier, était de mieux comprendre les problèmes à plusieurs paramètres en utilisant une méthode géométrique de désingularisation (celle du blow-up). Cette méthode permet d'utiliser une théorie linéaire au lieu de méthodes non linéaires. Les chercheurs ont notamment progressé dans des problèmes à plus grand nombre de dimensions, et dans la compréhension des interactions entre un bruit faible et la séparation à petite échelle temporelle. Le dernier grand objectif du projet était d'élargir pour certains cas les idées d'équations différentielles classiques (comme des problèmes purement temporels) à des équations différentielles partielles (en général des problèmes d'espace-temps). Les chercheurs y sont parvenus en concevant des outils mathématiques efficaces pour les systèmes de réaction-diffusion singulièrement perturbés, et de nouveaux algorithmes pour les problèmes à faible bruit. Ils ont aussi appliqué certaines idées à des équations différentielles partielles aléatoires présentant des phénomènes de propagation d'onde, ainsi qu'à certaines catégories d'équations non locales avec des paramètres petits. Les chercheurs ont découvert de nouveaux outils et méthodes mathématiques, largement applicables dans les sciences naturelles et l'ingénierie. Ils ont déjà réalisé plusieurs applications directes, dans le cadre de collaborations entre plusieurs disciplines.
Mots‑clés
Système lent-rapide, système singulièrement perturbé, motif oscillant, méthode de désingularisation, méthode de blow-up, équation différentielle
