La matematica dei processi con fasi veloci e lente
Il progetto SINGPERTDYNSYS (Singularly perturbed dynamical systems) si è concentrato sui sistemi dinamici veloce-lento singolarmente perturbati come per esempio i tassi di reazione in una reazione chimica a più molecole. Tali sistemi sono spesso soggetti a variabili dinamiche che si evolvono in tempi diversi. Il primo obiettivo del progetto era quello di comprendere i modelli oscillatori. Sono stati ottenuti dei progressi per quanto riguarda la comprensione dei meccanismi relativi ai modelli di reazione autocatalitica. Ciò dovrebbe aiutare i ricercatori a risolvere un problema aperto nel contesto dei modelli veloce-lento per la reazione perossidasi-ossidasi. Inoltre, tali progressi valgono anche per l’interazione tra perturbazioni stocastiche e modelli di oscillazione. È stato studiato il ruolo dei piccoli parametri e dell’interazione tra parametri. Per il caso stocastico, i nuovi risultati hanno portato a molte applicazioni impreviste nella teoria emergente dei segnali di allarme. Un secondo obiettivo correlato riguarda una migliore comprensione dei problemi di multi-parametro utilizzando una tecnica matematica geometrica di desingolarizzazione (detta anche metodo di blow-up). Questo metodo consente l’utilizzo della teoria lineare anziché dei metodi non lineari. Particolari progressi sono stati svolti in quanto a problemi con più dimensioni e nel raggiungimento di una migliore comprensione dell’interazione tra leggero rumore e lieve separazione tempo-scala. L’ultimo obiettivo chiave del progetto era quello di estendere le idee da equazioni differenziali ordinarie (cioè problemi puramente temporali) a equazioni alle derivate parziali (solitamente problemi di spazio-tempo) in casi particolari. Ciò è stato ottenuto attraverso lo sviluppo di efficienti strumenti numerici per i sistemi di reazione-diffusione singolarmente perturbati e di nuovi algoritmi per problemi di lieve rumore. Il progetto è riuscito ad applicare alcune idee per le equazioni stocastiche alle derivate parziali con fenomeni di propagazione d’onda, così come a determinate classi di equazioni non locali con piccoli parametri. I nuovi strumenti e metodi matematici sono ampiamente applicabili nelle scienze naturali e in ingegneria. Diverse applicazioni dirette sono già state fornite per collaborazioni interdisciplinari.
Parole chiave
Sistema veloce-lento, sistema singolarmente perturbato, modello oscillatorio, tecnica di desingolarizzazione, metodo di blow-up, equazione differenziale
