Die Mathematik der Prozesse mit schnellen und langsamen Stufen

Schnell-langsame Systeme sind in Technik, Chemie und Biologie weitverbreitet. Die Mathematik ist hier kompliziert und so können allgemeine Vereinfachungen sehr hilfreich sein.

Industrielle Technologien

Das SINGPERTDYNSYS-Projekt (Singularly perturbed dynamical systems) konzentrierte sich auf sogenannte singulär gestörte oder schnell-langsame dynamische Systeme wie beispielsweise die Reaktionsgeschwindigkeiten in einer chemischen Mehrfachmolekülreaktion. Systeme dieser Art weisen oft dynamische Variablen auf, die sich in verschiedenen zeitlichen Maßstäben entwickeln. Erstes Projektziel war, Verständnis für die periodischen Muster zu entwickeln. Man realisierte Fortschritte im Hinblick auf das Verständnis von Mechanismen für autokatalytische Reaktionsmodelle. Sie sollten den Forschern Hilfestellung dabei geben, ein langjähriges offenes Problem im Zusammenhang mit schnell-langsamen Modellen der Peroxidase-Oxidase-Reaktion lösen zu können. Darüber hinaus sind sie auch auf das Zusammenspiel zwischen stochastischen Störungen und Schwingungsmustern anwendbar. Die Rolle der kleinen Parameter sowie das Zusammenspiel zwischen den Parametern wurden untersucht. Für den stochastischen Fall haben die neuen Resultate zu vielen unerwarteten Anwendungen in der neu entstehenden Theorie der Frühwarnsignale geführt. Ein damit in Verbindung stehendes, zweites Ziel des Projekts bestand darin, die Mehrfachparameterprobleme unter Einsatz eines mathematischen geometrischen Desingularisierungsverfahrens (des sogenannten Blow-up-Verfahrens) besser zu verstehen. Dieses Verfahren gestattet die Anwendung der linearen Theorie anstelle von nichtlinearen Methoden. Besondere Fortschritte konnten bei höherdimensionalen Problemen und beim Erreichen eines besseren Verständnisses des Zusammenspiels zwischen geringem Rauschen und geringem Zeitskalenabstand erzielt werden. Letztes Hauptziel des Projekts war es, die Konzepte gewöhnlicher Differentialgleichungen (d. h. rein zeitlicher Probleme) in besonderen Fällen auf partielle Differentialgleichungen (d. h. im Allgemeinen räumlich-zeitlicher Probleme) zu erweitern. Das wurde durch die Entwicklung wirkungsvoller numerischer Instrumente für singulär gestörte Reaktionsdiffusionssysteme und neuer Algorithmen für Probleme mit geringem Rauschen erreicht. Das Projekt arbeitete daran, einige Ideen auf stochastische partielle Differentialgleichungen, die Wellenausbreitungsphänomene aufweisen, sowie auf bestimmte Klassen nichtlokaler Gleichungen mit kleinen Parametern anzuwenden. Es sind neue Instrumente und mathematische Verfahren entdeckt worden, die in den Natur- und Ingenieurwissenschaften weithin anwendbar sind. Mehrere direkte Anwendung sind bereits in transdisziplinären Formen der Zusammenarbeit bereitgestellt worden.

Schlüsselbegriffe

Fast-Slow System, schnell-langsames System, singulär gestörtes System, periodisches Muster, Entsingularisierungsverfahren, Blow-up-Methode, Differentialgleichung

Singularly Perturbed Dynamical Systems

Die Mathematik der Prozesse mit schnellen und langsamen Stufen

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