La théorie des probabilités
Le projet SPTRF (Studies in probability theory and related fields) a mené plusieurs études interdépendantes dans ce cadre, afin d'approfondir et d'élargir ces liens entre la théorie des probabilités et les autres domaines de recherche. Des progrès significatifs ont ainsi été obtenus dans la compréhension du modèle de Potts à trois états avec couplage du plus proche voisin antiferromagnétique à haute dimension. La rigidité du modèle a été établie dans le cadre de conditions aux limites périodiques (PBC, pour periodic boundary conditions). Ce résultat a été obtenu en adoptant une topologie algébrique adaptée à la mise en réseau. Une première preuve de la rigidité du modèle à température faiblement positive a été développée en établissant la conjecture postulée par Kotecky en 1985. Les partenaires du projet ont également amélioré nos connaissances pour d'autres modèles impliquant des contraintes importantes. Les partenaires ont également considéré certains modèles de surface aléatoire en y incluant le cas des fonctions lipschitziennes uniformément continues dans un réseau. Ces travaux ont permis d'établir la délocalisation de ces surfaces aléatoires. Le modèle de boucle bidimensionnelle a également été exploré. Les partenaires ont démontré la décroissance exponentielle des longueurs de boucle lorsque n est grand. Dans le cadre d'une autre collaboration, ils ont pu souligner la connexion de ces travaux avec les mathématiques combinatoires. Ils ont ainsi démontré l'existence de nouveaux objets combinatoires communs comme les matrices orthogonales, plans, permutations t-wise avec une taille optimale de la fonction polynomiale. La preuve est probabiliste et fournit de nouvelles estimations du nombre d'objets de taille donnée. Ce travail démontre pour la première fois l'existence de ces petites permutations t-wise. Elles déterminent les conditions nécessaires à l'existence de t-plans (simples) si lambda est assez grand avec une liaison quantitative sur lambda. Ces recherches ont également permis de faire progresser la théorie de l'approximation. Des liens ont ainsi été obtenus sur la taille des quadratures de type Tchebychev, qui deviennent des quasi constantes pour toute mesure effectuée dans un intervalle compact satisfaisant une double condition. Ce projet permet ainsi d'unifier les nombreux résultats dans le domaine.
Mots‑clés
Théorie des probabilités, mathématiques combinatoires, Potts, fonction de Lipschitz, modèle en boucle O(n), quadrature de type Tchebychev
