Wahrscheinlichkeitstheorie
Das Projekt SPTRF (Studies in probability theory and related fields) führte mehrere zusammenhängende Studien zur Wahrscheinlichkeitstheorie durch, um die Verbindungen zwischen der Wahrscheinlichkeitstheorie und anderen Bereichen zu vertiefen und zu erweitern. Bedeutende Fortschritte wurden beim Verständnis des Potts-Modells mit 3 anti-ferromagnetischen Zuständen in hohen Dimensionen gemacht. Das Stabilitätsphänomen des Modells wurde für periodische Randbedingungen festgelegt. Dies erforderte die Einführung von Ideen aus der algebraischen Topologie, die auf die Gitterumgebung angepasst wurden. Ein erster Beweis für die Stabilität des Modells bei niedrigen positiven Temperaturen wurde entwickelt, um so die 1985-Kotecky-Vermutung festzulegen. Das Projekt lieferte auch ein Verständnis für andere Modelle mit extremen Einschränkungen. Zufällige Oberflächenmodelle in zwei Dimensionen wurden geprüft, wie etwa bei gleichmäßig abgetasteten Lipschitz-Funktionen auf dem Gitter. Die Arbeit führte zur Delokalisierung solcher Zufallsoberflächen. Das zweidimensionale Loop-O(n)-Modell wurde untersucht. Der exponentielle Abbau der Schleifenlängen für große Werte von n konnte nachgewiesen werden. Die Verbindungen mit der Kombinatorik wurden in einer weiteren Zusammenarbeit unterstrichen. Gezeigt wurde die Existenz von neuen regulären kombinatorischen Objekten wie orthogonale Arrays, t-Designs und t-artige Permutationen mit optimaler Größe bis zum Polynom-Overhead. Der Nachweis ist probabilistisch und liefert weitere Schätzungen der Anzahl solcher Objekte einer bestimmten Größe. Mit dieser Arbeit konnte erstmals gezeigt werden, dass kleine t-artige Permutationen existieren. Diese Permutationen bestimmen die notwendigen Voraussetzungen für die Existenz von (einfachen) t-Designs, wenn Lambda groß genug ist und mit einer quantitativen Bindung auf Lambda. Auch die Approximationstheorie wurde weiterentwickelt. Bindungen ergaben sich zur Größe von Chebyhsev-Typ-Quadraturen, die bis zu Konstanten scharf sind, und für jede Messung an einem kompakten Intervall, das eine Verdoppelungsbedingung erfüllt. Diese Arbeit vereint viele bestehende Ergebnisse zu diesem Thema.
