Teoria della probabilità La teoria della probabilità è tra le più importanti aree di ricerca in matematica. È fondamentale per molte altre discipline tra cui l’analisi, il calcolo combinatorio, la meccanica statistica e l’informatica. Tecnologie industriali © ImageFlow, Shutterstock Il progetto SPTRF (Studies in probability theory and related fields) ha perseguito diversi studi correlati alla teoria della probabilità, con l’obiettivo di approfondire e ampliare le connessioni tra teoria della probabilità e altri campi. Sono stati compiuti progressi significativi nel comprendere il modello anti-ferromagnetico di Potts a 3 stati alle grandi dimensioni. Il fenomeno della rigidità relativo al modello è stato dimostrato nel contesto di condizioni al contorno periodiche. Ciò ha richiesto l’introduzione di idee provenienti dalla topologia algebrica adattate all’ambito dei reticoli. È stata sviluppata una prima prova della rigidità del modello con bassa temperatura positiva, la quale dimostra la congettura di Kotecky del 1985. Il progetto ha inoltre fornito una comprensione di altri modelli che coinvolgono vincoli forti. Sono stati considerati modelli di superfici casuali in due dimensioni, compreso il caso delle funzioni di Lipschitz uniformemente campionate su un reticolo. Il lavoro dimostra la delocalizzazione di tali superfici casuali. È stato analizzato il modello ad anello O(n) bidimensionale. Il decadimento esponenziale di lunghezze di loop è stato dimostrato con valore n elevato. I collegamenti con il calcolo combinatorio sono stati evidenziati in un’altra collaborazione. Questi hanno dimostrato l’esistenza di nuovi oggetti combinatori regolari, compresi schieramenti ortogonali, strutture a T, e permutazioni a T con dimensione ottimale fino alla testa polinomiale. La prova è probabilistica e fornisce ulteriori stime del numero di tali oggetti con dimensione specifica. Questo lavoro è il primo a dimostrare che esistono piccole permutazioni a T. Queste determinano le condizioni necessarie per l’esistenza di strutture a T (semplici), se il fattore lambda è sufficientemente elevato, con un legame quantitativo relativo a lambda. Inoltre, sono stati apportati dei miglioramenti alla teoria dell’approssimazione. Sono stati ottenuti i limiti alle dimensioni delle quadrature di Chebyhsev, i quali sono netti fino ai valori costanti, per qualsiasi misura, su un intervallo compatto che soddisfa una condizione di raddoppio. Il lavoro svolto unifica molti risultati esistenti sull’argomento. Parole chiave Teoria della probabilità, calcolo combinatorio, modello di Potts, funzione di Lipschitz, modello ad anello O(n), quadrature di Chebyshev
