Problemas comunes, técnicas distintas
En la geometría analítica, no parece haber una forma evidente de tratar con espacios de infinitas dimensiones. Por otra parte, muchos objetos de infinitas dimensiones de la geometría algebraica se podrían interpretar como construcciones con dimensiones finitas en la geometría analítica. Esta observación fue el punto de inicio del proyecto STACKSCATS (Stacks and categorification), financiado por la Unión Europea. Durante la duración del proyecto, de tres años, los científicos trabajaron en formas de utilizar la geometría algebraica para describir espacios sin contornos, así como espacios con un contorno parcial. El trabajo se centró en la categoría de los espacios vectoriales bornológicos de tipo convexo sobre un campo de valores no triviales y completo. Una generalización de esta categoría son los llamados módulos Ind-Banach sobre un anillo normalizado. Ejemplos de ello son los anillos arquimedianos y el anillo de Novikov. La principal herramienta técnica que utilizaron los científicos fue la versión de la categoría derivada que procede de un entorno cuasiabeliano. Mostraron cómo recuperar nociones bien conocidas de la geometría compleja y analítica. Además, extendieron los resultados a los entornos de Stein y cuasi Stein. Con el uso de geometría algebraica, STACKSCATS obtuvo una descripción más precisa de los espacios sin contornos y los espacios con un contorno parcial. En ambos casos, bajo ciertas condiciones, sería posible caracterizar los morfismos entre ellos, que se conocen como inmersiones abiertas. Aunque el resultado fue ligeramente distinto de los objetivos originales del proyecto, se obtuvo un conocimiento mejor de estas condiciones en casos relevantes para la geometría analítica. El innovador trabajo realizado se publicó en tres artículos en revistas de gran impacto sometidas a revisión.
Palabras clave
Geometría analítica, geometría algebraica, STACKSCATS, espacios vectoriales, morfismos
