Wspólne problemy, różne techniki
Wydaje się, że w geometrii analitycznej brak jest oczywistej metody umożliwiającej prace nad przestrzeniami o nieskończonej liczbie wymiarów. Z drugiej strony jednak, wiele obiektów o nieskończonej liczbie wymiarów można by interpretować jako konstrukcje o skończonej liczbie wymiarów w geometrii analitycznej. Obserwacja ta stała się punktem wyjścia dla badań przeprowadzonych w ramach projektu STACKSCATS (Stacks and categorification), finansowanego ze środków UE. W ciągu trzech lat jego realizacji naukowcy pracowali nad sposobami na wykorzystanie geometrii algebraicznej do dokładniejszego opisywania przestrzeni pozbawionych brzegów, a także przestrzeni o częściowym brzegu. Prace skupiały się na kategorii kompletnych bornologicznych przestrzeni wektorowych typu wypukłego na kompletnym polu o nietrywialnej wartości. Uogólnienie tej kategorii nazywane jest modułami Inda-Banacha w pierścieniu unormowanym. Przykładami są pierścienie archimedesowskie i pierścień Nowikowa. Najważniejszym z narzędzi, jakich użyli naukowcy, była wersja kategorii pochodnej uzyskanej z ustawienia quasi-abelowskiego. Wykazali oni, jak można odzyskiwać dobrze znane pojęcia w złożonej i analitycznej geometrii. Ponadto, wyniki te rozszerzono na ustawienia Steina i quasi-Steina. Dzięki wykorzystaniu geometrii algebraicznej w projekcie STACKSCATS opracowano dokładniejszy opis przestrzeni bez brzegów oraz przestrzeni z częściowym brzegiem. W obu przypadkach morfizmy między nimi, nazywane otwartymi imersjami, udało się scharakteryzować w pewnych warunkach. Choć ostateczny rezultat omawianych badań odbiega nieco od pierwotnych założeń, umożliwił on dokładniejsze poznanie tych warunków w przypadkach mających znaczenie dla geometrii analitycznej. Szczegóły tych innowacyjnych badań opisano w trzech artykułach opublikowanych na łamach prestiżowych czasopism naukowych.
Słowa kluczowe
Geometria analityczna, geometria algebraiczna, STACKSCATS, przestrzeń wektorowa, morfizmy
