Problèmes communs, techniques différentes
En géométrie analytique, il semble n'y avoir aucun moyen évident de traiter les espaces de dimensions infinies. D'un autre côté, en géométrie algébrique, de nombreux objets de dimension infinie pourraient être interprétés en géométrie analytique comme des structures de dimensions finies. Cette observation a été le point de départ du projet STACKSCATS (Stacks and categorification), financé par l'UE. Pendant les trois années du projet, les scientifiques ont travaillé sur les façons d'utiliser la géométrie algébrique pour mieux décrire les espaces sans limites, ainsi que les espaces avec une limite partielle. Ils ont mis l'accent sur la catégorie des espaces vectoriels bornologiques complets de type convexe sur un champ complet, non-trivialement évalué. Les modules Ind-Banach sur un anneau normé constituent une généralisation de cette catégorie. Les anneaux archimédiens et l'anneau de Novikov en sont des exemples. Le principal outil technique utilisé par les scientifiques était la version de la catégorie dérivée provenant d'un cadre quasi-abélien. Ils ont montré comment récupérer des notions bien connues de la géométrie complexe et analytique. En outre, ils ont étendu les résultats aux espaces de Stein et quasi-Stein. En utilisant la géométrie algébrique, STACKSCATS a débouché sur une description plus précise des espaces sans limites et des espaces avec une limite partielle. Dans les deux cas, les morphismes entre eux, appelés immersions ouvertes, pourraient être caractérisés sous certaines conditions. Bien que différant légèrement des objectifs initiaux du projet, les résultats ont débouché sur une meilleure compréhension de ces conditions dans des cas relevant de la géométrie analytique. Trois articles publiés dans d'importantes revues à comité de lecture détaillent les travaux novateurs réalisés.
Mots‑clés
Géométrie analytique, géométrie algébrique, STACKSCATS, espaces vectoriels, morphismes
