Über Beschränkungen und Extremwerte hinaus
Der Begriff „extremal“ beschreibt die Natur von Problemen, welche die kombinatorische Mathematik adressiert. Insbesondere die extremale Kombinatorik ist bezüglich einer Sammlung finiter Objekte – Zahlen, Graphen und Vektoren – auf die Suche nach einer maximalen oder minimalen Anzahl fokussiert, sodass bestimmte Einschränkungen erfüllt sind. Abgesehen von klassischen Instrumenten haben neue Instrumente ihr Potenzial zur Lösung diesbezüglicher Probleme unter Beweis gestellt. Des Weiteren wurden erstaunliche Anwendungsmöglichkeiten in anderen Bereichen wie etwa der theoretischen Informatik festgestellt. Das Projekt PECTA (Extremal problems in combinatorics and their applications) war auf nach wie vor bestehende Probleme fokussiert. Die Forscher untersuchten unterschiedliche Aspekte bezüglich des klassischen Entfernungslemmas der Graphentheorie. Grob ausgedrückt besagt dies, dass ein bestimmter Graph von einem größeren Graphen entfernt werden kann, der eine geringe Anzahl Kopien beinhaltet, falls manche Kanten gelöscht werden. Die Greensche Variante des Lemmas untermauerte Anwendungsmöglichkeiten für die theoretische Informatik. Darüber hinaus etablierte das PECTA-Team Bedingungen, unter denen sich deterministische Strukturen verhalten wie Zufallsstrukturen. Dieses Konzept erwies sich als äußerst nützlich, um eine Vielzahl von Problemen im Zusammenhang mit Graphen und Hypergraphen anzugehen sowie um die Quasi-Randomisierungstheorie auszubauen. Die im Zuge des Projekts entwickelten Verfahren finden in verschiedenen Bereichen der Mathematik Anwendung und werden unter anderem auch in einigen renommierten mathematischen Zeitschriften beschrieben. Des Weiteren entstehen viele der adressierten Probleme durch Fragen im Bereich der Informatik, sodass hieraus praktische Implikationen erwachsen.
Schlüsselbegriffe
Extremal, kombinatorische Mathematik, Kombinatorik, PECTA, Graphentheorie
