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Combinatorics in Transcendental Dynamics

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Simplificar sistemas dinámicos complejos

Aunque los conceptos generales de estático y dinámico son relativamente fáciles de entender, cuando se trata de sistemas dinámicos complejos y de matemáticas de alto nivel las cosas se vuelven bastante complicadas. Un nuevo teorema permite a los matemáticos centrarse en menos información para extraer la mayor parte del comportamiento de los sistemas dinámicos.

Investigación fundamental

Formalmente, un sistema dinámico es aquel cuyo estado evoluciona con el tiempo en un «espacio de estados». El espacio de estados también se llama variedad topológica, el equivalente multidimensional de una superficie curva. Por ejemplo, un círculo es una variedad unidimensional (una línea) incrustada en dos dimensiones, donde cada arco del círculo representa una línea de forma local. Mientras que un sistema dinámico está determinado por un espacio de estados de números enteros o reales, un sistema dinámico complejo tiene una variedad compleja equivalente. Con el apoyo del programa Marie Skłodowska-Curie, CoTraDy se propuso estudiar sistemas dinámicos generados por mapas trascendentales unidimensionales (no polinómicos como los exponenciales o trigonométricos) que actúan en el plano complejo.

Un viaje matemático en el tiempo y el espacio de estados

Según la beneficiaria de la beca de investigación del proyecto, Anna Miriam Benini, de la Universidad de Parma, y la coordinadora del proyecto Nùria Fagella, de la Universidad de Barcelona: «Planeábamos investigar las consecuencias de una combinatoria determinada en el comportamiento dinámico de un mapa concreto». La combinatoria es una especie de código a partir del cual se pueden determinar teóricamente todas las características dinámicas de un mapa concreto, permite a los matemáticos agrupar los mapas en clases en las que todos los miembros tienen una dinámica similar. Luego, por otra parte, pueden obtener información sobre la dinámica de un mapa al saber a qué clase de mapas pertenece y cuál es su combinatoria. Sin embargo, no siempre es posible recuperar la dinámica de la combinatoria.

Encontrar estabilidad en medio del caos

Benini prosigue: «Lo que logramos fue vincular la combinatoria con el comportamiento de un conjunto especial de puntos (llamados valores singulares) que son responsables de la mayor parte de la dinámica del propio mapa. Como resultado, pudimos obtener información sobre los estados de equilibrio del sistema dinámico (los puntos periódicos) y su relación con estos puntos». En otras palabras, el equipo simplificó aún más el «código» o, más bien, su interpretación al poder extraer el grueso de la información del comportamiento dinámico de un subconjunto de puntos sin tener que «conectar todos los puntos».

El dúo dinámico de matemáticas que impulsa la innovación

El trabajo de Benini y Fagella proporciona información importante sobre la combinatoria en relación con los estados de equilibrio donde el sistema dinámico regresa con el tiempo. También podría arrojar luz sobre otras cuestiones. Benini explica: «Los resultados de CoTraDy podrían abrir la puerta a una mejor comprensión de los dominios itinerantes, entre los fenómenos menos entendidos de la dinámica trascendental. Estos grandes conjuntos de puntos se mueven todos juntos pero nunca regresan a sí mismos». Además, Benini colabora actualmente con otros en la aplicación de las técnicas de CoTraDy a la dinámica trascendental bidimensional, un campo amplio del que se conoce poco. Fagella concluye: «Nuestra prueba amplía los resultados anteriores y también da una aproximación directa a la comprensión de la relación entre combinatoria, valores singulares y puntos de equilibrio». Los sistemas dinámicos complejos en cualquier dimensión son a menudo complejización de los reales, a veces motivados por modelos de sistemas dinámicos del mundo real como los cambios demográficos o el mercado de valores. Los resultados de CoTraDy podrían ayudarnos a mirar estos modelos reales desde un punto de vista complejo para explicar fenómenos que no son comprensibles de otra manera.

Palabras clave

CoTraDy, sistema dinámico, combinatoria, complejo, dinámica, mapa, espacio de estados, variedad, trascendental, valor singular, estado de equilibrio

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