Skip to main content

Article Category

Article available in the folowing languages:

Zminimalizowanie złożoności złożonych układów dynamicznych

O ile ogólne pojęcia statyczności i dynamiczności są stosunkowo łatwe do zrozumienia, w przypadku złożonych układów dynamicznych i matematyki wysokiego poziomu jest to już dużo bardziej skomplikowane. Nowe twierdzenie umożliwia matematykom wyekstrahowanie większości zachowań układów dynamicznych na podstawie mniejszej ilości informacji.

Badania podstawowe

Z formalnego punktu widzenia układ dynamiczny to taki, którego stan zmienia się z czasem w „przestrzeni stanów”. Przestrzeń stanów jest także nazywana rozmaitością topologiczną i stanowi wielowymiarowy odpowiednik przestrzeni zakrzywionej. Na przykład okrąg to rozmaitość jednowymiarowa (linia) osadzona w dwóch wymiarach, gdzie każdy łuk okręgu reprezentuje lokalnie linię. Układ dynamiczny definiowany jest przez przestrzeń stanów liczb całkowitych lub rzeczywistych, natomiast złożony układ dynamiczny ma odpowiadającą mu rozmaitość zespoloną. Wspierany przez działanie „Maria Skłodowska-Curie” projekt CoTraDy poświęcony był badaniu układów dynamicznych generowanych przez jednowymiarowe odwzorowania przestępne (niewielomianowe, np. wykładnicze lub trygonometryczne) działające na płaszczyźnie zespolonej.

Podróż matematyczna w czasie – i przestrzeni stanów

Badaczka realizująca projekt Anna Miriam Benini, pracująca obecnie na Uniwersytecie w Parmie, oraz jego koordynatorka Nùria Fagella z Uniwersytetu w Barcelonie tłumaczą: „Planowałyśmy zbadać, jakie konsekwencje dana kombinatoryka ma dla dynamicznego zachowania się danego odwzorowania”. Kombinatoryka jest rodzajem kodu, na podstawie którego można teoretycznie określić wszystkie dynamiczne cechy danego odwzorowania. Umożliwia ona matematykom grupowanie odwzorowań w klasy elementów o podobnej dynamice. I odwrotnie – możliwe jest uzyskanie informacji o dynamice odwzorowania, jeśli wiemy, do której klasy odwzorowania należy, i jeśli znamy jego kombinatorykę. Nie zawsze jednak możliwe jest ustalenie dynamiki na podstawie kombinatoryki.

Odnaleźć stabilność w chaosie

Benini tłumaczy: „Udało nam się połączyć kombinatorykę z zachowaniem specjalnego zbioru punktów (zwanych wartościami osobliwymi), które odpowiadają za większą część dynamiki samego odwzorowania. W efekcie udało nam się uzyskać informacje o stanach równowagi układu dynamicznego (punkty okresowe) i ich relacji do tych punktów”. Innymi słowy, zespół jeszcze bardziej uprościł „kod”, a właściwie jego interpretację, poprzez możliwość wyodrębniania dużej ilości informacji o zachowaniu dynamicznym z podzbioru punktów bez konieczności „układania całej układanki”.

Dynamiczny duet matematyczek tworzy innowacje

Praca Beninii i Fagelli przynosi ważne informacje na temat kombinatoryki związanej ze stanami równowagi, w których układ dynamiczny powraca w czasie, może mieć jednak także szersze implikacje. „Rezultaty projektu CoTraDy mogą pomóc w dokładniejszym zrozumieniu dziedzin zmiennych, należących do najsłabiej poznanych zjawisk w dynamice przestępnej, tłumaczy Benini. „Te duże zbiory punktów poruszają się wspólnie, ale nigdy nie wracają do siebie”. Ponadto, Benini współpracuje obecnie z innymi uczonymi w zakresie zastosowania technik CoTraDy do dwuwymiarowej dynamiki przestępnej, w która jest dotychczas poznana w bardzo niewielkim stopniu. Fagella podsumowuje: „Nasz dowód rozszerza wcześniejsze wyniki, a także tworzy bezpośrednie podejście do badania relacji między kombinatoryką, wartościami osobliwymi i punktami równowagi”. Złożone układy dynamiczne w dowolnym wymiarze stanowią nierzadko powłoki zespolone układów rzeczywistych, czasami bazujące na modelach układów dynamicznych występujących w świecie rzeczywistym, takich jak zmiany demograficzne czy rynek papierów wartościowych. Projekt CoTraDy pomoże nam uzyskać wgląd w złożone zjawiska, które w innym przypadku nie byłyby zrozumiałe.

Słowa kluczowe

CoTraDy, układ dynamiczny, kombinatoryka, złożone, dynamika, odwzorowanie, przestrzeń stanów, rozmaitość, wartość przestępna, wartość osobliwa, stan równowagi

Znajdź inne artykuły w tej samej dziedzinie zastosowania