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Minimierung der Komplexität von komplexen dynamischen Systemen

Die allgemeinen Konzepte der Statik und der Dynamik sind relativ einfach zu verstehen. Wenn es aber um komplexe dynamische Systeme und Mathematik auf hohem Niveau geht, werden die Dinge – nun ja – komplex. Mit einem neuem Theorem können sich Mathematiker auf weniger Informationen konzentrieren, um den größten Teil des Verhaltens dynamischer Systeme zu extrahieren.

Grundlagenforschung

Formal gesehen ist ein dynamisches System ein solches, dessen Zustand sich mit der Zeit über einen „Zustandsraum“ entwickelt. Der Zustandsraum wird auch als eine topologische Mannigfaltigkeit bezeichnet, das mehrdimensionale Äquivalent einer gekrümmten Oberfläche. Ein Kreis ist zum Beispiel eine in zwei Dimensionen eingebettete 1D-Mannigfaltigkeit (eine Linie), wobei jeder Bogen des Kreises lokal eine Linie repräsentiert. Während ein dynamisches System als ein Zustandsraum ganzer Zahlen oder reeller Zahlen definiert ist, hat ein komplexes dynamisches System eine entsprechende komplexe Mannigfaltigkeit. Mit der Unterstützung des Marie-Skłodowska-Curie-Programms wurden im Rahmen von CoTraDy dynamische Systeme untersucht, die von transzendentalen 1D-Karten (nicht polynomial wie zum Beispiel exponentiell oder trigonometrisch) erzeugt wurden, welche auf die komplexe Ebene einwirken.

Eine mathematische Reise durch die Zeit – und den Zustandsraum

Projektstipendiatin Anna Miriam Benini, mittlerweile an der Universität von Parma, und Projektkoordinatorin Nùria Fagella von der Universität von Barcelona erklären: „Wir hatten geplant, die Konsequenzen zu untersuchen, die eine bestimmte Kombinatorik für das dynamische Verhalten einer gegebenen Karte hat.“ Die Kombinatorik ist eine Art Code, aus dem man theoretisch alle dynamischen Merkmale einer gegebenen Karte ermitteln kann. Mit Kombinatorik können Mathematiker Karten in Klassen gruppieren, in denen alle Mitglieder ähnliche Dynamiken aufweisen. Dann können sie umgekehrt Informationen über die Dynamik einer Karte gewinnen, wenn sie wissen, zu welcher Klasse von Karten sie gehört und ihre Kombinatorik kennen. Allerdings ist es nicht immer möglich, die Dynamik aus der Kombinatorik wiederherzustellen.

Stabilität im Chaos finden

Benini fährt fort: „Es ist uns gelungen, die Kombinatorik mit dem Verhalten einer speziellen Gruppe von Punkten zu verknüpfen (Singulärwerte genannt), die für den größten Teil der Dynamik der Karte selbst verantwortlich sind. Dies hat uns in die Lage versetzt, Informationen über die Gleichgewichtszustände des dynamischen Systems (die periodischen Punkte) und ihre Beziehung zu diesen Punkten zu gewinnen.“ Mit anderen Worten – das Team vereinfachte den „Code“ bzw. die Interpretation des „Codes“ noch weiter, um in der Lage zu sein, die Menge an Informationen über das dynamische Verhalten einer Teilmenge von Punkten extrahieren zu können, ohne „alle Punkte verbinden zu müssen“.

Ein dynamisches Duo aus Mathematikerinnen bringt Innovation voran

Die Arbeit von Benini und Fagella stellt wichtige Erkenntnisse über Kombinatorik im Zusammenhang mit Gleichgewichtszuständen bereit, wobei das dynamische System mit der Zeit wiederkehrt. Es könnte auch darüber hinausgehend Licht ins Dunkle bringen. Benini erklärt: „Die Ergebnisse von CoTraDy könnten die Tür zu einem besseren Verständnis der wandernden Domänen öffnen, die zu den am wenigsten verstandenen Phänomenen in transzendentaler Dynamik zählen. Diese großen Gruppen von Punkten bewegen sich alle zusammen, sie kommen aber nie wieder zu sich selbst zurück.“ Darüber hinaus arbeitet Benini derzeit mit anderen an der Anwendung der Techniken von CoTraDy auf transzendentale 2D-Dynamiken, einem breiten Feld, in dem wenig bekannt ist. Fagella fasst zusammen: „Unser Nachweis erweitert frühere Ergebnisse und bietet auch einen direkten Ansatz, den Zusammenhang zwischen Kombinatorik, Singulärwerten und Gleichgewichtspunkten zu verstehen.“ Komplexe dynamische Systeme in jeder beliebigen Dimension sind häufig Komplexierungen realer Systeme, manchmal motiviert durch Modelle realer dynamischer Systeme wie Bevölkerungsveränderungen oder dem Aktienmarkt. Die Ergebnisse von CoTraDy könnten uns dabei helfen, diese realen Modelle aus einem komplexen Blickwinkel zu betrachten, um Phänomene zu erklären, die ansonsten nicht verstanden werden.

Schlüsselbegriffe

CoTraDy, dynamisches System, Kombinatorik, komplex, Dynamik, Karte, Zustandsraum, Mannigfaltigkeit, transzendental, Singulärwert, Gleichgewichtszustand

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