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Minimiser la complexité des systèmes dynamiques complexes

Si les concepts généraux de statique et de dynamique sont relativement faciles à comprendre, lorsqu’il s’agit de systèmes dynamiques complexes et de mathématiques de haut niveau, les choses deviennent – disons – complexes. Un nouveau théorème permet aux mathématiciens de se concentrer sur une quantité moindre d’informations pour extraire la plupart des comportements des systèmes dynamiques.

Recherche fondamentale

Officiellement, un système dynamique est un système dont l’état évolue avec le temps dans un «espace d’état». L’espace d’état est également appelé variété topologique, l’équivalent multidimensionnel d’une surface courbe. Par exemple, un cercle est une variété 1D (une ligne) encastré dans deux dimensions, où chaque arc du cercle représente localement une ligne. Alors qu’un système dynamique est défini par un espace d’état de nombres entiers ou réels, un système dynamique complexe possède une variété complexe correspondante. Avec le soutien du programme Marie Skłodowska-Curie, CoTraDy a entrepris d’étudier les systèmes dynamiques générés par des cartes transcendantes 1D (non polynomiales du type exponentielles ou trigonométriques) agissant sur le plan complexe.

Un voyage mathématique dans le temps – et l’espace d’état

Selon la chargée de projet, Anna Miriam Benini, de l’Université de Parme, et la coordinatrice du projet, Nùria Fagella, de l’Université de Barcelone: «Nous avions projeté d’étudier les conséquences qu’une combinatoire donnée a sur le comportement dynamique d’une carte donnée.» La combinatoire est une sorte de code à partir duquel on peut théoriquement déterminer toutes les caractéristiques dynamiques d’une carte donnée. La combinatoire permet aux mathématiciens de regrouper les cartes dans des classes dont tous les membres ont une dynamique similaire. Ensuite, inversement, ils peuvent obtenir des informations sur la dynamique d’une carte en sachant à quelle classe de cartes elle appartient et en connaissant sa combinatoire. Cependant, il n’est pas toujours possible de récupérer la dynamique à partir de la combinatoire.

Trouver la stabilité dans le chaos

Anna Miriam Benini poursuit: «Nous avons réussi à relier la combinatoire au comportement d’un ensemble spécial de points (appelés valeurs singulières) qui sont responsables de la plupart des dynamiques de la carte elle-même. Nous avons ainsi pu obtenir des informations sur les états d’équilibre du système dynamique (les points périodiques) et leur relation avec ces points.» En d’autres termes, l’équipe a encore simplifié le «code» ou, plutôt, son interprétation en parvenant à extraire l’essentiel des informations sur le comportement dynamique d’un sous-ensemble de points sans avoir à «relier tous les points».

Un duo dynamique de mathématiciennes au service de l’innovation

Les travaux d’Anna Miriam Benini et Nùria Fagella fournissent un aperçu important de la combinatoire liée aux états d’équilibre dans lesquels le système dynamique retourne au fil du temps. Ceci pourrait également nous éclairer sur d’autres aspects. Anna Miriam Benini explique: «Les résultats de CoTraDy pourraient ouvrir la porte à une meilleure compréhension des domaines d’errance, qui figurent parmi les phénomènes les bien moins compris de la dynamique transcendantale. Ces grands ensembles de points se déplacent tous ensemble mais ne reviennent jamais à eux-mêmes.» En outre, Anna Miriam Benini collabore actuellement avec d’autres personnes sur l’application des techniques de CoTraDy à la dynamique transcendantale 2D, un vaste domaine dont on sait peu de choses. Nùria Fagella conclut: «Notre étude élargit les résultats précédents et donne également une approche directe pour comprendre la relation entre la combinatoire, les valeurs singulières et les points d’équilibre.» Les systèmes dynamiques complexes, quelle que soit leur dimension, sont souvent des complexifications de systèmes réels, parfois motivées par des modèles de systèmes dynamiques du monde réel comme les changements démographiques ou le marché boursier. Les résultats de CoTraDy pourraient nous aider à examiner ces modèles réels d’un point de vue complexe afin d’expliquer des phénomènes qui ne sont pas compréhensibles autrement.

Mots‑clés

CoTraDy, système dynamique, combinatoire, complexe, dynamique, carte, espace d’état, variété, transcendantal, valeur singulière, état d’équilibre

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