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Geometric and analytic aspects of isoparametric hypersurfaces

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Neuartige mathematische Beschreibungen bleiben der Entwicklung voraus

Funktionen, die Kurven und Oberflächen beschreiben, sind für viele Forschungsrichtungen in der Physik und im Ingenieurwesen wichtig. Neue Erkenntnisse in einer der faszinierendsten Klassen von Oberflächen versprechen Fortschritte in Feldern, die von Primzahlen bis hin zur Strömungsmechanik reichen.

Grundlagenforschung

Mathematik – formal das Studium der Zahlen, Formen und des Raums – stellt eine Sprache bereit, mit der wir die Welt um uns herum beschreiben. Die Geometrie ist der Zweig, der sich auf die Beziehung zwischen Punkten, Linien, Kurven und Flächen fokussiert. Mit der Unterstützung der Marie-Skłodowska-Curie-Maßnahmen (MCSA) sollte im Rahmen des Projekts ISOPARAMETRIC eine bestimmte Klasse von Flächen (isoparametrische Hyperflächen) untersucht werden, die im Lauf der letzten Jahrzehnte beträchtliches Interesse geweckt haben.

Krümmung rund um uns herum

Projektkoordinator Alberto Enciso vom Institut für mathematische Wissenschaften – ICMAT erklärt : „Grob gesagt, ist eine isoparametrische Hyperfläche eine glatte geometrische Form, die sich selbst überall auf gleiche Weise krümmt. Ein Kreis, eine Ebene und die Fläche einer Kugel oder eines Zylinders sind die grundlegendsten Beispiele für isoparametrische Hyperflächen. Diese Objekte werden im 2- und 3-dimensionalen Raum gefunden. Sie sind maximal symmetrisch – die Objekte sehen aus einer maximalen Anzahl verschiedener Blickwinkel gleich aus.“ Enciso fährt fort und beschreibt, was geschieht, wenn man sich in höhere Dimensionen bewegt. „Wir finden sehr interessante und ziemlich komplizierte isoparametrische Hyperflächen, die nicht so symmetrisch sind, wie man erwarten würde.“ Isoparametrische Flächen finden sich überall in der Physik und in der Mathematik. Zum Beispiel sind Gleichgewichtsformen von selbstgravitierenden Flüssigkeiten in der Strömungsmechanik isoparametrische Flächen und es gibt eine unerwartete Verbindung zwischen Primzahlen und verwandten Objekten, die isoparametrische Blätterungen genannt werden. Der MCSA-Stipendiat Miguel Domínguez-Vázquez, heute an der Universität von Santiago de Compostela, untersuchte diese faszinierenden Flächen aus unterschiedlichen Perspektiven.

Die Lösung für viele Probleme

Viele Probleme in der Wissenschaft werden durch partielle Differentialgleichungen modelliert, die Ableitungen, Änderungsraten einer Variablen in Bezug auf andere beinhalten. Für einige dieser Gleichungen gibt es eventuell keine Lösungen, wie zum Beispiel bei vielen überbestimmten Randwertproblemen von partiellen Differentialgleichungen, einem Schlüsselbereich der Forschung der letzten 50 Jahre. Der Begriff „überbestimmt“ bedeutet, dass es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt und diese daher oft keine Lösung haben. Enciso und Domínguez-Vázquez haben dieses wichtige Feld vorangebracht: „Zu unseren wichtigsten Ergebnissen zählt der Nachweis der Existenz von Lösungen für überbestimmte Randwertprobleme von partiellen Differentialgleichungen in sehr allgemeinen Kontexten und der Nachweis, dass, unter bestimmten Umständen, solche Lösungen im Zusammenhang mit isoparametrischen Hyperflächen stehen. Des Weiteren haben wir ein vollständiges Verständnis isoparametrischer (Hyper-)Flächen in bestimmten wichtigen, nicht flachen Räumen mit drei Dimensionen entwickelt und gezeigt, dass in diesen Fällen isoparametrische Flächen tatsächlich maximal symmetrisch sind.“ Es wird erwartet, dass die Ergebnisse von ISOPARAMETRIC zukünftig Anwendung finden, wenn es darum geht, Nachweise für die Existenz oder Nichtexistenz isoparametrischer Hyperflächen im Allgemeinen zu erbringen, und um ein komplettes Verständnis der isoparametrischen Flächen im sogenannten „homogenen Raum der Dimension 3“ zu ermöglichen. Wahrscheinlich werden sie auch beim Umgang mit inkompressiblen Flüssigkeitsströmen eingesetzt.

Eine neue Sichtweise auf isoparametrische Hyperflächen

Isoparametrische Hyperflächen wurden in der Regel mit algebraischen und differentialgeometrischen Methoden untersucht, wo sich klassische Differentialgeometrie mit Kurven und Flächen im euklidischen 3D-Raum beschäftigt. Domínguez-Vázquez fasst zusammen: „Das Spannendste an diesem Projekt war das Initiieren einer neuen Forschungsrichtung, für die es erforderlich war, einen anderen Bereich der Mathematik zu erlernen. Im Rahmen von ISOPARAMETRIC wurden isoparametrische Hyperflächen und verwandte Objekte untersucht, indem diese „klassischen“ Methoden mit mehr analytischen Techniken kombiniert wurden.“ Offensichtlich führte eine steile Lernkurve zu wichtigen Ergebnissen in Bezug auf diese faszinierenden Flächen, die sich überall auf die gleiche Weise selbst krümmen.

Schlüsselbegriffe

ISOPARAMETRIC, isoparametrische Hyperflächen, Mathematik, partielle Differentialgleichungen, überbestimmtes Randwertproblem, symmetrisch, Primzahlen, Strömungsmechanik, geometrisch, Geometrie, Ableitungen, Analytik, euklidisch, algebraisch

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