Nuevas descripciones matemáticas permiten adelantarse a la curva
Las matemáticas —formalmente el estudio de los números, las formas y el espacio— proporcionan un lenguaje que se utiliza para describir el mundo que nos rodea. Por su parte, la geometría es la rama de las matemáticas que se centra en la relación entre puntos, líneas, curvas y superficies. Con el apoyo de las Acciones Marie Skłodowska-Curie acciones (MCSA, por sus siglas en inglés), el proyecto ISOPARAMETRIC se propuso investigar una clase específica de superficies (las hipersuperficies isoparamétricas) que ha atraído un gran interés en los últimos veinte años.
Las curvas que nos rodean
El coordinador del proyecto, Alberto Enciso, del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), explica: «A grandes rasgos, una hipersuperficie isoparamétrica es una forma geométrica lisa que se curva de la misma manera en todas partes. Un círculo, un plano y la superficie de una esfera o un cilindro son los ejemplos más básicos de hipersuperficies isoparamétricas. Estos objetos se encuentran en el espacio bidimensional y tridimensional y son máximamente simétricos, es decir, los objetos se ven iguales desde un número máximo de puntos de vista diferentes». Enciso aclara lo que sucede al pasar a dimensiones mayores: «Encontramos hipersuperficies isoparamétricas muy interesantes y bastante complicadas que no son tan simétricas como cabría esperar». Las superficies isoparamétricas son comunes en física y matemáticas. Por ejemplo, en la mecánica de fluidos, las formas de equilibrio de los fluidos autogravitatorios son superficies isoparamétricas y existe una conexión inesperada entre los números primos y los objetos relacionados llamada foliaciones isoparamétricas. El beneficiario de la beca de investigación MCSA, Miguel Domínguez Vázquez, de la Universidad de Santiago de Compostela, investigó estas enigmáticas superficies desde varias perspectivas.
La solución a muchos problemas
En ciencia, muchos problemas se modelizan mediante ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que implican derivadas, tasas de cambio de una variable con respecto a otras. Es posible que algunas de estas ecuaciones no tengan solución, como es el caso de muchos problemas de valores límite sobredeterminados de las EDP, un ámbito clave de investigación en los últimos cincuenta años. El término «sobredeterminado» significa que hay más ecuaciones que incógnitas y, por lo tanto, a menudo no tienen solución. Enciso y Domínguez Vázquez consiguieron avances en este importante campo: «Entre nuestros resultados principales estuvo la demostración de la existencia de soluciones a los problemas de valores límite sobredeterminados de las EDP en supuestos muy generales y la corroboración de que, en determinadas circunstancias, dichas soluciones están relacionadas con las hipersuperficies isoparamétricas. Además, logramos una comprensión completa de las hipersuperficies isoparamétricas en ciertos espacios no planos importantes con tres dimensiones, lo que demuestra que en estos casos las superficies isoparamétricas son de hecho máximamente simétricas». Se espera que los hallazgos de ISOPARAMETRIC puedan aplicarse en el futuro para la obtención de resultados sobre la existencia o no existencia de hipersuperficies isoparamétricas en general, así como que permitan una comprensión completa de las superficies isoparamétricas en los llamados «espacios homogéneos de dimensión 3». Es probable que también se utilicen cuando se trate de flujos de fluidos incompresibles.
Una nueva forma de ver las hipersuperficies isoparamétricas
Por lo general, las hipersuperficies isoparamétricas se han investigado con métodos algebraicos y geométricos diferenciales, donde la geometría diferencial clásica se ocupa de las curvas y superficies en el espacio euclídeo tridimensional. Domínguez Vázquez concluye: «Lo más emocionante de este proyecto fue iniciar una nueva línea de investigación que exigía nuevos conocimientos sobre un campo diferente de las matemáticas. El equipo de ISOPARAMETRIC investigó las hipersuperficies isoparamétricas y los objetos relacionados mediante la combinación de estos métodos “clásicos” con técnicas más analíticas». Es evidente que una curva de aprendizaje pronunciada condujo a importantes resultados con respecto a estas enigmáticas superficies que se curvan de la misma manera en todas partes.
Palabras clave
ISOPARAMETRIC, hipersuperficies isoparamétricas, matemáticas, ecuaciones diferenciales parciales (EDP), problema de valores límite sobredeterminados, simétrico, números primos, mecánica de fluidos, geométrico, geometría, derivadas, analítico, euclídeo, algebraico
