Projektbeschreibung
Die Lösung von Vermutungen über Invarianten in verschiedenen mathematischen Gebieten
In niedrigdimensionalen Topologien treten bestimmte Invarianten auf und die algebraische Geometrie lässt bei diesen sogenannte Verfeinerungen zu. Während klassische Invarianten Polynome mit einer Variablen (q) erzeugen und oft durch Schur-Polynome ausgedrückt werden können, erzeugen verfeinerte Invarianten Polynome mit zwei Variablen (q und t) und werden häufig durch Macdonald-Polynome ausgedrückt. Das EU-finanzierte Projekt REFINV plant die Entwicklung einer umfassenden Theorie, die mehrere seit Langem bestehende Vermutungen zu Invarianten in der algebraischen Geometrie, Kombinatorik und niedrigdimensionalen Topologie lösen soll. Zu diesem Zweck wird die Forschungsgruppe auf Methoden aufbauen, die in vorheriger Forschung entwickelt wurden und sich mit Lösungen von Vermutungen über das Mischen, Homologie-Berechnungen von Torusknoten und Poincaré-Polynomen von Charaktervarietäten sowie dem Beweis der kuriosen schweren Lefschetz-Vermutung befassen.
Ziel
Some invariants appearing in low-dimensional topology and algebraic geometry admit a so-called refinement: a much stronger, but more complicated invariant. For instance, in low-dimensional topology we study the Poincare polynomial of the triply-graded Khovanov-Rozansky homology of a knot, which is a refined version of the HOMFLY-PT polynomial. The usual Poincare polynomial and the E-polynomial of a character variety are refined by the full mixed Hodge polynomial. On the cohomology of a moduli space of Higgs bundles, we need an extra filtration, the so-called perverse filtration, to define the refinement. Where classical invariants produce polynomials in one variable q, and often have expressions involving Schur polynomials, refined invariants produce polynomials in two variables q and t, and often have expressions involving Macdonald polynomials. The connection conjectures and the P=W conjecture relate refined invariants appearing in the three contexts above.
We propose to develop a comprehensive theory connecting these notions, and as main applications, to solve the P=W conjecture for character varieties, the Gorsky-Negut-Rasmussen conjectures relating knot invariants and sheaves on the Hilbert scheme, Cherednik's conjectures computing homologies of algebraic links via DAHA, the Hausel-Letellier-Rodriguez-Villegas conjectures computing mixed Hodge polynomials of character varieties, nabla positivity, and the Stanley-Stembridge positivity conjectures.
To achieve our goal, we will build on methods developed in our previous work on the solution of the shuffle conjectures, the computations of homology of torus knots and Poincare polynomials of character varieties, and the proof of the curious hard Lefschetz conjecture. These methods include combinatorics of Dyck paths, symmetric functions and Macdonald theory, the A(q,t) algebra, cell decompositions of character varieties, natural actions on cohomology and K-theory, counting geometric objects over finite fields.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: Das European Science Vocabulary.
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: Das European Science Vocabulary.
- Naturwissenschaften Mathematik reine Mathematik Topologie
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Schlüsselbegriffe
Schlüsselbegriffe des Projekts, wie vom Projektkoordinator angegeben. Nicht zu verwechseln mit der EuroSciVoc-Taxonomie (Wissenschaftliches Gebiet).
Schlüsselbegriffe des Projekts, wie vom Projektkoordinator angegeben. Nicht zu verwechseln mit der EuroSciVoc-Taxonomie (Wissenschaftliches Gebiet).
Programm/Programme
Mehrjährige Finanzierungsprogramme, in denen die Prioritäten der EU für Forschung und Innovation festgelegt sind.
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H2020-EU.1.1. - EXCELLENT SCIENCE - European Research Council (ERC)
HAUPTPROGRAMM
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Thema/Themen
Aufforderungen zur Einreichung von Vorschlägen sind nach Themen gegliedert. Ein Thema definiert einen bestimmten Bereich oder ein Gebiet, zu dem Vorschläge eingereicht werden können. Die Beschreibung eines Themas umfasst seinen spezifischen Umfang und die erwarteten Auswirkungen des finanzierten Projekts.
Aufforderungen zur Einreichung von Vorschlägen sind nach Themen gegliedert. Ein Thema definiert einen bestimmten Bereich oder ein Gebiet, zu dem Vorschläge eingereicht werden können. Die Beschreibung eines Themas umfasst seinen spezifischen Umfang und die erwarteten Auswirkungen des finanzierten Projekts.
Finanzierungsplan
Finanzierungsregelung (oder „Art der Maßnahme“) innerhalb eines Programms mit gemeinsamen Merkmalen. Sieht folgendes vor: den Umfang der finanzierten Maßnahmen, den Erstattungssatz, spezifische Bewertungskriterien für die Finanzierung und die Verwendung vereinfachter Kostenformen wie Pauschalbeträge.
Finanzierungsregelung (oder „Art der Maßnahme“) innerhalb eines Programms mit gemeinsamen Merkmalen. Sieht folgendes vor: den Umfang der finanzierten Maßnahmen, den Erstattungssatz, spezifische Bewertungskriterien für die Finanzierung und die Verwendung vereinfachter Kostenformen wie Pauschalbeträge.
ERC-COG - Consolidator Grant
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Aufforderung zur Vorschlagseinreichung
Verfahren zur Aufforderung zur Einreichung von Projektvorschlägen mit dem Ziel, eine EU-Finanzierung zu erhalten.
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(öffnet in neuem Fenster) ERC-2020-COG
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Finanzieller Nettobeitrag der EU. Der Geldbetrag, den der Beteiligte erhält, abzüglich des EU-Beitrags an mit ihm verbundene Dritte. Berücksichtigt die Aufteilung des EU-Finanzbeitrags zwischen den direkten Begünstigten des Projekts und anderen Arten von Beteiligten, wie z. B. Dritten.
1010 WIEN
Österreich
Die Gesamtkosten, die dieser Organisation durch die Beteiligung am Projekt entstanden sind, einschließlich der direkten und indirekten Kosten. Dieser Betrag ist Teil des Gesamtbudgets des Projekts.