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Curve Counting and Log Geometry

Description du projet

Une meilleure compréhension des invariants de Gromov-Witten et de la géométrie énumérative

En mathématiques, les invariants de Gromov-Witten sont des nombres rationnels permettant de dénombrer les courbes algébriques répondant à des conditions prescrites dans des variétés algébriques données. Financé par le programme Actions Marie Skłodowska-Curie, le projet LOGEO entend appliquer les invariants de Gromov-Witten pour répondre à des questions relevant d’un large éventail de domaines mathématiques: théories de comptage de faisceau, symétrie miroir et théorie modulaire des courbes. Les chercheurs feront également appel à la géométrie logarithmique, une variante moderne de la géométrie algébrique développée pour traiter deux problèmes fondamentaux – la compactification et la dégénérescence – qui a fait progresser de manière considérable les connaissances dans ces domaines. Les résultats du projet devraient permettre d’innover en géométrie énumérative et de mieux comprendre le comptage des courbes.

Objectif

The Gromov--Witten invariants of a space X record the number of curves in X of a given genus and degree which meet a given collection of cycles in X. Gromov--Witten theory is an extremely active field of research, and through its technical challenges attracts some of the most talented researchers at the interface of geometry with physics, who have made a lot of progress here over the last 20 years. We propose a program to apply Gromov--Witten theory to questions from a broad range of areas of mathematics: from sheaf counting theories, from mirror symmetry, and from the moduli theory of curves. The key new ingredient here is the recent significant advance in our understanding of these theories using logarithmic (log) geometry, which is a modern variant of algebraic geometry, developed to deal with two fundamental and related problems: compactification and degeneration. We will investigate solutions to these problems in interlinked areas of algebraic geometry, and use them to obtain major advances in Gromov--Witten theory. Building on the success of our previous work on log Gromov--Witten theory, we propose a program to 1) construct a computationally effective log geometric extension of sheaf counting theories, 2) develop new techniques to enumerate curves in Deligne-Mumford stacks (orbifolds) and to construct mirrors to such stacks, and; 3) investigate stability in the moduli spaces of curves along with original new connections to quiver-stability theories. Completion of these projects, will break new ground in enumerative algebraic geometry, and even if not all of the overall goals are achieved it will be a cornerstone in understanding curve-counting in different setups via modern log geometric techniques.

Coordinateur

UNIVERSITEIT LEIDEN
Contribution nette de l'UE
€ 253 052,16
Adresse
RAPENBURG 70
2311 EZ Leiden
Pays-Bas

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Région
West-Nederland Zuid-Holland Agglomeratie Leiden en Bollenstreek
Type d’activité
Higher or Secondary Education Establishments
Liens
Coût total
€ 253 052,16

Partenaires (1)