Description du projet
Équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaires: comportements des solutions générales
Les équations aux dérivées partielles sont fondamentales pour décrire les processus dans lesquels une variable dépend de deux ou plusieurs autres, ce qui correspond à la plupart des situations de la vie réelle. Les équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) décrivent des systèmes physiques qui font l’objet d’effets aléatoires. Dans la description des limites d’extensibilité des systèmes de particules en interaction et dans l’analyse des théories quantiques des champs, le caractère aléatoire est dû aux fluctuations liées aux termes de bruit sur toutes les échelles de longueur. La présence d’un terme non linéaire peut entraîner des divergences. Financé par le Conseil européen de la recherche, le projet GE4SPDE décrira le comportement général des solutions appartenant à certains des exemples les plus marquants d’EDPS semi-linéaires, en exploitant le traitement systématique de la procédure de renormalisation utilisée pour traiter ces divergences.
Objectif
"The project is concerned with the global behaviour of solutions to Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) from Mathematical Physics which arise e.g. in the description of scaling limits of interacting particle systems and in the analysis of Quantum Field Theories. The equations contain noise terms which describe random fluctuations and act on all length scales. In this situation the presence of a non-linear term can lead to divergencies. A subtle renormalisation procedure, which amounts to removing infinite terms, is needed. Over the last years the understanding of non-linear SPDEs has been revolutionised and a systematic treatment of the renormalisation procedure has been achieved. This led to a short-time well-posedness theory on compact domains for a large class of highly relevant semi-linear SPDEs. In this project, I will describe the global - both in time and over infinite domains - behaviour of solutions of some of the most prominent examples, by combining PDE techniques for the non-linear equations without noise and the improved understanding of the subtle small-scale stochastic cancellations. I have already pioneered such a programme in an important special case, the dynamic Phi-4 model. The project has three specific strands: A) Proving estimates for the stochastic quantisation equations of the Sine-Gordon and Liouville Quantum Gravity models and eventually Gauge theories, and to giving a PDE-based approach to the celebrated 1-2-3 scaling of the KPZ equation, B) giving PDE-based constructions of Phi-4 models in fractional dimension and describing phase transitions in terms of mixing properties of the dynamics, C) treating degenerate parabolic equations and exploring if systems that fail to satisfy a fundamental ""sub-criticality"" scaling assumption can still be treated using SPDE techniques."
Champ scientifique
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsmathematical physics
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesphysical sciencestheoretical physics
Mots‑clés
Programme(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Régime de financement
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstitution d’accueil
48149 MUENSTER
Allemagne