Projektbeschreibung
Semilineare stochastische partielle Differentialgleichungen: Das globale Verhalten von Lösungen
Partielle Differentialgleichungen bilden die Grundlage zur Beschreibung von Prozessen, bei denen eine Variable von zwei oder mehreren anderen abhängig ist – wie bei den meisten Situationen im Leben. Stochastische partielle Differentialgleichungen beschreiben physikalische Systeme, die Zufallseffekten unterliegen. Bei der Beschreibung der Skalierungsgrenzen von interagierenden Partikelsystemen und bei der Analyse von Quantenfeldtheorien resultiert die Zufälligkeit aus Schwankungen aufgrund von Störtermen auf allen Längenskalen. Das Vorhandensein eines nichtlinearen Terms kann zu Abweichungen führen. Finanziert über den Europäischen Forschungsrat wird das Projekt GE4SPDE das globale Verhalten von Lösungen einiger der bekanntesten Beispiele semilinearer stochastischer partieller Differentialgleichungen beschreiben. Dabei bezieht das Team sich auf die systematische Behandlung des Renormierungsverfahrens, das auf diese Abweichungen angewandt wird.
Ziel
"The project is concerned with the global behaviour of solutions to Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) from Mathematical Physics which arise e.g. in the description of scaling limits of interacting particle systems and in the analysis of Quantum Field Theories. The equations contain noise terms which describe random fluctuations and act on all length scales. In this situation the presence of a non-linear term can lead to divergencies. A subtle renormalisation procedure, which amounts to removing infinite terms, is needed. Over the last years the understanding of non-linear SPDEs has been revolutionised and a systematic treatment of the renormalisation procedure has been achieved. This led to a short-time well-posedness theory on compact domains for a large class of highly relevant semi-linear SPDEs. In this project, I will describe the global - both in time and over infinite domains - behaviour of solutions of some of the most prominent examples, by combining PDE techniques for the non-linear equations without noise and the improved understanding of the subtle small-scale stochastic cancellations. I have already pioneered such a programme in an important special case, the dynamic Phi-4 model. The project has three specific strands: A) Proving estimates for the stochastic quantisation equations of the Sine-Gordon and Liouville Quantum Gravity models and eventually Gauge theories, and to giving a PDE-based approach to the celebrated 1-2-3 scaling of the KPZ equation, B) giving PDE-based constructions of Phi-4 models in fractional dimension and describing phase transitions in terms of mixing properties of the dynamics, C) treating degenerate parabolic equations and exploring if systems that fail to satisfy a fundamental ""sub-criticality"" scaling assumption can still be treated using SPDE techniques."
Wissenschaftliches Gebiet
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsmathematical physics
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesphysical sciencestheoretical physics
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsGastgebende Einrichtung
48149 MUENSTER
Deutschland