Descripción del proyecto
Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas semilineales: comportamiento general de las soluciones
Las ecuaciones diferenciales parciales son fundamentales para describir procesos en los que una variable depende de otras dos o más, es decir, en la mayoría de las situaciones de la vida. Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas (SPDE, por sus siglas en inglés) describen sistemas físicos sujetos a efectos aleatorios. En la descripción de los límites de escala de los sistemas de partículas en interacción y en el análisis de las teorías cuánticas de campo, la aleatoriedad se debe a las fluctuaciones relacionadas con los términos de ruido en todas las escalas de longitud. La presencia de un término no lineal puede provocar divergencias. El equipo del proyecto GE4SPDE, financiado por el Consejo Europeo de Investigación, describirá el comportamiento general de las soluciones de algunos de los ejemplos más destacados de SPDE semilineales, basándose en el tratamiento sistemático del procedimiento de renormalización utilizado para tratar estas divergencias.
Objetivo
"The project is concerned with the global behaviour of solutions to Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) from Mathematical Physics which arise e.g. in the description of scaling limits of interacting particle systems and in the analysis of Quantum Field Theories. The equations contain noise terms which describe random fluctuations and act on all length scales. In this situation the presence of a non-linear term can lead to divergencies. A subtle renormalisation procedure, which amounts to removing infinite terms, is needed. Over the last years the understanding of non-linear SPDEs has been revolutionised and a systematic treatment of the renormalisation procedure has been achieved. This led to a short-time well-posedness theory on compact domains for a large class of highly relevant semi-linear SPDEs. In this project, I will describe the global - both in time and over infinite domains - behaviour of solutions of some of the most prominent examples, by combining PDE techniques for the non-linear equations without noise and the improved understanding of the subtle small-scale stochastic cancellations. I have already pioneered such a programme in an important special case, the dynamic Phi-4 model. The project has three specific strands: A) Proving estimates for the stochastic quantisation equations of the Sine-Gordon and Liouville Quantum Gravity models and eventually Gauge theories, and to giving a PDE-based approach to the celebrated 1-2-3 scaling of the KPZ equation, B) giving PDE-based constructions of Phi-4 models in fractional dimension and describing phase transitions in terms of mixing properties of the dynamics, C) treating degenerate parabolic equations and exploring if systems that fail to satisfy a fundamental ""sub-criticality"" scaling assumption can still be treated using SPDE techniques."
Ámbito científico
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsmathematical physics
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesphysical sciencestheoretical physics
Palabras clave
Programa(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Régimen de financiación
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstitución de acogida
48149 MUENSTER
Alemania