Opis projektu
Półliniowe stochastyczne równania różniczkowe cząstkowe: zachowania rozwiązań globalnych
Równania różniczkowe cząstkowe mają fundamentalne znaczenie dla opisu procesów, w których jedna zmienna jest zależna od dwóch lub więcej innych – czyli większości sytuacji w prawdziwym życiu. Stochastyczne równania różniczkowe cząstkowe opisują układy fizyczne podlegające efektom losowym. W opisie granic skalowania oddziałujących układów cząstek oraz w analizie kwantowych teorii pola losowość wynika z fluktuacji związanych z terminami szumowymi na wszystkich skalach długości. Obecność terminu nieliniowego może prowadzić do rozbieżności. Zespół projektu GE4SPDE, finansowanego przez Europejską Radę ds. Badań Naukowych, opisze globalne zachowanie rozwiązań niektórych z najbardziej znanych przykładów półliniowych stochastycznych równań różniczkowych cząstkowych, opierając się na systematycznym traktowaniu procedury renormalizacji używanej do radzenia sobie z tymi rozbieżnościami.
Cel
"The project is concerned with the global behaviour of solutions to Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) from Mathematical Physics which arise e.g. in the description of scaling limits of interacting particle systems and in the analysis of Quantum Field Theories. The equations contain noise terms which describe random fluctuations and act on all length scales. In this situation the presence of a non-linear term can lead to divergencies. A subtle renormalisation procedure, which amounts to removing infinite terms, is needed. Over the last years the understanding of non-linear SPDEs has been revolutionised and a systematic treatment of the renormalisation procedure has been achieved. This led to a short-time well-posedness theory on compact domains for a large class of highly relevant semi-linear SPDEs. In this project, I will describe the global - both in time and over infinite domains - behaviour of solutions of some of the most prominent examples, by combining PDE techniques for the non-linear equations without noise and the improved understanding of the subtle small-scale stochastic cancellations. I have already pioneered such a programme in an important special case, the dynamic Phi-4 model. The project has three specific strands: A) Proving estimates for the stochastic quantisation equations of the Sine-Gordon and Liouville Quantum Gravity models and eventually Gauge theories, and to giving a PDE-based approach to the celebrated 1-2-3 scaling of the KPZ equation, B) giving PDE-based constructions of Phi-4 models in fractional dimension and describing phase transitions in terms of mixing properties of the dynamics, C) treating degenerate parabolic equations and exploring if systems that fail to satisfy a fundamental ""sub-criticality"" scaling assumption can still be treated using SPDE techniques."
Dziedzina nauki
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsmathematical physics
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesphysical sciencestheoretical physics
Słowa kluczowe
Program(-y)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Temat(-y)
System finansowania
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstytucja przyjmująca
48149 MUENSTER
Niemcy