Descripción del proyecto
Unos métodos informáticos avanzados podrían ayudar a redefinir el conocimiento de los anillos de grupo
Los anillos de grupo son fundamentales en muchos campos matemáticos como el álgebra, la topología y la teoría de representaciones. Sin embargo, aún quedan cuestiones básicas sin resolver, como las conjeturas de Kaplansky: un conjunto de ideas sobre el comportamiento de los anillos de grupo. Por ejemplo, una predicción establece que los divisores cero (cuando dos elementos distintos de cero se multiplican por cero) no existen, mientras que otra sugiere que solo 0 y 1 actúan como idempotentes (no cambian cuando se multiplican por sí mismos). Estas cuestiones han intrigado a los matemáticos durante más de ochenta años. En el proyecto SATURN, financiado por el Consejo Europeo de Investigación, se pretende encontrar ejemplos que refuten algunas de estas predicciones mediante el empleo de herramientas computacionales modernas para abordar problemas que antes parecían imposibles. El trabajo del proyecto podría revelar nuevos conocimientos sobre los anillos de grupo, así como ayudar a resolver otros problemas matemáticos relevantes.
Objetivo
Group rings are key objects in many fields of mathematics including algebra, topology, operator algebras and representation theory. Fundamental questions about them remain unanswered, in particular several conjectures attributed to Kaplansky. For torsion-free groups and field coefficients, the zero divisor conjecture predicts the absence of zero divisors and the idempotent conjecture predicts that 0 and 1 are the only idempotents in the group ring. The direct finiteness conjecture says that left-invertible elements are invertible in group rings of arbitrary groups over fields. These conjectures have a history spanning more than 80 years. Although special cases are known, resolving any of the conjectures in full generality seemed intractable until the recent disproof of the closely related unit conjecture.
The goal of this project is to construct counterexamples to the zero divisor and direct finiteness conjectures. The latter will give the first example of a non-sofic group. We also seek to resolve the unit conjecture in characteristic zero. Key to our approach is the application of modern solvers for Boolean satisfiability. This paradigm shift, which was successful against the unit conjecture, shows that these problems are substantially more vulnerable to computational techniques than previously thought. Constructing our counterexamples will require both developing our understanding of candidate groups and their properties and building a toolkit for the effective application of existing computational machinery. The unique product property obstructs the existence of counterexamples to these conjectures and is thus of great interest. We will answer fundamental questions about this property.
Although we focus on the positive characteristic case, this project will lay serious groundwork towards the construction of counterexamples in characteristic zero to the zero divisor and idempotent conjectures and thus to the Atiyah, Baum-Connes and Farrell-Jones conjectures.
Ámbito científico (EuroSciVoc)
CORDIS clasifica los proyectos con EuroSciVoc, una taxonomía plurilingüe de ámbitos científicos, mediante un proceso semiautomático basado en técnicas de procesamiento del lenguaje natural. Véase: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
CORDIS clasifica los proyectos con EuroSciVoc, una taxonomía plurilingüe de ámbitos científicos, mediante un proceso semiautomático basado en técnicas de procesamiento del lenguaje natural. Véase: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Palabras clave
Programa(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Convocatoria de propuestas
(se abrirá en una nueva ventana) ERC-2022-STG
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HORIZON-ERC -Institución de acogida
53113 Bonn
Alemania