Descripción del proyecto
Análisis variacional de superficies mínimas anisotrópicas
El estudio de los problemas variacionales geométricos es uno de los temas más fascinantes del cálculo de variaciones. Las soluciones de los problemas variacionales geométricos describen las configuraciones de equilibrio de los sistemas físicos. Las superficies mínimas, es decir, las superficies con curvatura media cero, son puntos críticos del funcional de área y constituyen una clase amplia de soluciones de problemas variacionales geométricos. Una clase más amplia viene dada por las superficies mínimas anisotrópicas, que son puntos críticos de funciones anisotrópicas. Las funciones anisotrópicas son integrales de funciones de densidad dependientes de la dirección sobre una superficie. Motivado por diversas aplicaciones, como las estructuras cristalinas, los problemas de capilaridad, los campos gravitatorios y los problemas de homogeneización, el equipo del proyecto ANGEVA, financiado con fondos europeos, estudiará las funcionales anisotrópicas e intentará desarrollar herramientas para demostrar la existencia, la regularidad y las propiedades de unicidad de las superficies mínimas anisotrópicas.
Objetivo
The focus of this project is to advance the theory of anisotropic geometric variational problems. A vast literature is devoted to the study of critical points of the area functional, referred to as minimal surfaces. However, minimizing the surface area is often an idealization in physics. In order to account for preferred inhomogeneous and directionally dependent configurations and to capture microstructures, more general anisotropic energies are often utilized in several important models. Relevant examples include crystal structures, capillarity problems, gravitational fields and homogenization problems. Motivated by these applications, anisotropic energies have attracted an increasing interest in the geometric analysis community. Moreover in differential geometry they lead to the study of Finsler manifolds. Unlike the rich theory for the area functional, very little is understood in the anisotropic setting, as many of the essential techniques do not remain valid. This project aims to develop the tools to prove existence, regularity and uniqueness properties of the critical points of anisotropic functionals, referred to as anisotropic minimal surfaces. In order to show their existence in general Riemannian manifolds, it will be crucial to generalize the min-max theory. This theory plays a crucial role in proving a number of conjectures in geometry and topology. In order to determine the regularity of anisotropic minimal surfaces, I will study the associated geometric nonlinear elliptic partial differential equations (PDEs). Finally, in addition to the stationary configurations, this research will shed light on geometric flows, through the analysis of the related parabolic PDEs. The new methods developed in this project will provide new insights and results even for the isotropic theory: in solving the size minimization problem, in the vectorial Allen-Cahn approximation of the general codimension Brakke flow, and in the Almgren-Pitts min-max construction.
Ámbito científico (EuroSciVoc)
CORDIS clasifica los proyectos con EuroSciVoc, una taxonomía plurilingüe de ámbitos científicos, mediante un proceso semiautomático basado en técnicas de procesamiento del lenguaje natural.
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Palabras clave
Programa(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Régimen de financiación
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstitución de acogida
20136 Milano
Italia