Description du projet
Analyse variationnelle des surfaces minimales anisotropes
L’étude des problèmes variationnels géométriques est l’un des sujets les plus fascinants du calcul des variations. Les solutions à ces problèmes décrivent les configurations d’équilibre des systèmes physiques. Les surfaces minimales, à savoir les surfaces à courbure moyenne nulle, sont des points critiques de la fonctionnelle d’aire et constituent une grande classe de solutions aux problèmes géométriques variationnels. Une classe plus large est constituée par les surfaces minimales anisotropes, qui sont des points critiques de fonctions anisotropes. Les fonctions anisotropes sont des intégrales de fonctions de densité dépendant de la direction sur une surface. Animé par plusieurs applications telles que les structures cristallines, les problèmes de capillarité, les champs gravitationnels et les problèmes d’homogénéisation, le projet ANGEVA, financé par l’UE, étudiera les fonctionnelles anisotropes. L’équipe cherchera à développer des outils pour prouver l’existence, la régularité et l’unicité des propriétés des surfaces minimales anisotropes.
Objectif
The focus of this project is to advance the theory of anisotropic geometric variational problems. A vast literature is devoted to the study of critical points of the area functional, referred to as minimal surfaces. However, minimizing the surface area is often an idealization in physics. In order to account for preferred inhomogeneous and directionally dependent configurations and to capture microstructures, more general anisotropic energies are often utilized in several important models. Relevant examples include crystal structures, capillarity problems, gravitational fields and homogenization problems. Motivated by these applications, anisotropic energies have attracted an increasing interest in the geometric analysis community. Moreover in differential geometry they lead to the study of Finsler manifolds. Unlike the rich theory for the area functional, very little is understood in the anisotropic setting, as many of the essential techniques do not remain valid. This project aims to develop the tools to prove existence, regularity and uniqueness properties of the critical points of anisotropic functionals, referred to as anisotropic minimal surfaces. In order to show their existence in general Riemannian manifolds, it will be crucial to generalize the min-max theory. This theory plays a crucial role in proving a number of conjectures in geometry and topology. In order to determine the regularity of anisotropic minimal surfaces, I will study the associated geometric nonlinear elliptic partial differential equations (PDEs). Finally, in addition to the stationary configurations, this research will shed light on geometric flows, through the analysis of the related parabolic PDEs. The new methods developed in this project will provide new insights and results even for the isotropic theory: in solving the size minimization problem, in the vectorial Allen-Cahn approximation of the general codimension Brakke flow, and in the Almgren-Pitts min-max construction.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Programme(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thème(s)
Appel à propositions
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HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstitution d’accueil
20136 Milano
Italie