Descrizione del progetto
Analisi variazionale di superfici minime anisotrope
Lo studio dei problemi geometrici variazionali è uno degli aspetti più affascinanti del calcolo delle variazioni. Le soluzioni dei problemi geometrici variazionali descrivono le configurazioni di equilibrio dei sistemi fisici. Le superfici minime, ossia le superfici che hanno una curvatura media pari a zero, sono punti critici del funzionale dell’area e costituiscono un’ampia classe di soluzioni dei problemi geometrici variazionali. Una classe più ampia è rappresentata dalle superfici minime anisotrope, che sono punti critici di funzionali anisotropi. Queste ultime sono integrali della funzione di densità dipendenti dalla direzione su una superficie. Motivato da varie applicazioni quali le strutture cristalline, i problemi di capillarità, i campi gravitazionali e i problemi di omogeneizzazione, il progetto ANGEVA, finanziato dall’UE, studierà i funzionali anisotropi, cercando di sviluppare strumenti per dimostrare le proprietà di esistenza, regolarità e unicità delle superfici minime anisotrope.
Obiettivo
The focus of this project is to advance the theory of anisotropic geometric variational problems. A vast literature is devoted to the study of critical points of the area functional, referred to as minimal surfaces. However, minimizing the surface area is often an idealization in physics. In order to account for preferred inhomogeneous and directionally dependent configurations and to capture microstructures, more general anisotropic energies are often utilized in several important models. Relevant examples include crystal structures, capillarity problems, gravitational fields and homogenization problems. Motivated by these applications, anisotropic energies have attracted an increasing interest in the geometric analysis community. Moreover in differential geometry they lead to the study of Finsler manifolds. Unlike the rich theory for the area functional, very little is understood in the anisotropic setting, as many of the essential techniques do not remain valid. This project aims to develop the tools to prove existence, regularity and uniqueness properties of the critical points of anisotropic functionals, referred to as anisotropic minimal surfaces. In order to show their existence in general Riemannian manifolds, it will be crucial to generalize the min-max theory. This theory plays a crucial role in proving a number of conjectures in geometry and topology. In order to determine the regularity of anisotropic minimal surfaces, I will study the associated geometric nonlinear elliptic partial differential equations (PDEs). Finally, in addition to the stationary configurations, this research will shed light on geometric flows, through the analysis of the related parabolic PDEs. The new methods developed in this project will provide new insights and results even for the isotropic theory: in solving the size minimization problem, in the vectorial Allen-Cahn approximation of the general codimension Brakke flow, and in the Almgren-Pitts min-max construction.
Campo scientifico (EuroSciVoc)
CORDIS classifica i progetti con EuroSciVoc, una tassonomia multilingue dei campi scientifici, attraverso un processo semi-automatico basato su tecniche NLP.
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Parole chiave
Programma(i)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsIstituzione ospitante
20136 Milano
Italia