Description du projet
Étude de l’impact du hasard sur des objets combinatoires structurés et aléatoires
La combinatoire concerne l’étude des structures discrètes, comme les réseaux, les permutations ou les systèmes d’ensembles. Il a été démontré que le hasard joue un rôle indissociable dans le domaine de la combinatoire. Les arguments probabilistes non constructifs offrent un moyen puissant de prouver l’existence de différents types d’objets combinatoires. Le projet RANDSTRUCT, financé par le CER, tentera de mieux comprendre le rôle du hasard dans la combinatoire, en mettant l’accent sur la relation entre les objets structurés (explicites) et les objets aléatoires ou de type aléatoire. RANDSTRUCT étudiera plusieurs problèmes combinatoires concrets, en particulier dans les domaines de la théorie de Ramsey et de la théorie de la conception.
Objectif
Randomness plays an inseparable role in combinatorics. Indeed, non-constructive probabilistic arguments are a powerful way to prove the existence of various kinds of combinatorial objects, and the study of random discrete structures has illuminated nearly all fields of combinatorics. I propose a program to achieve a deeper understanding of this role of randomness in combinatorics, emphasising the relationship between “structured” (hence explicit) objects, and random or “random-like” objects.
A) There are many situations in combinatorics where probabilistic arguments demonstrate that “almost all” objects satisfy a certain property, but it is difficult to explicitly specify an object with the property. The most notorious examples are in Ramsey theory, which studies how “disordered” it is possible for an object to be. I plan to investigate the structure of Ramsey graphs, with the goals of unifying the area and making decisive progress on important conjectures.
B) Conversely, certain areas of combinatorics have been slower to benefit from the probabilistic method; particularly areas in which algebraic constructions play a major role. Design theory is the study of combinatorial “arrangements” with very strong regularity properties, most naturally obtained by exploiting symmetry/regularity properties of algebraic structures. I plan to investigate probabilistic aspects of design theory, and in particular to build a theory of random designs.
C) Actually, structure and randomness often come together, due to the “structure vs pseudorandomness dichotomy” elucidated by Tao. Indeed, there are many important problems in combinatorics for which it is known how to solve both random instances and “structured” instances; in such cases we hope to decompose general instances into structured and pseudorandom parts, handled by different means. I describe several concrete problems in this vein, whose study will advance our general understanding of this phenomenon.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Mots‑clés
Programme(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thème(s)
Appel à propositions
(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) ERC-2022-STG
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Autriche