Projektbeschreibung
Neue mathematische Grenzen zur Förderung der Erforschung
Das vom Europäischen Forschungsrat finanzierte Projekt ADA ist im Bereich der komplexen Dynamik und Gruppentheorie angesiedelt. Das Team von ADA verwendet endliche Zustandsautomaten, um selbstähnliche mathematische Objekte zu definieren, und befasst sich damit mit zentralen Fragen der symbolischen Dynamik, Entscheidungsproblemen und Berechnungen. Es führt das Konzept der automatisch agierenden Gruppen ein und schlägt damit eine Brücke zwischen den bisher getrennten Begriffen. Vom Versuch der Lösung des Milnor‘schen „Lückenproblems“ bis hin zur Erforschung nicht-sofischer Gruppen im Zusammenhang mit Automaten – ADA leistet Pionierarbeit mit neuen Strategien. Das Team befasst sich durch die Kodierung rationaler Karten durch automatische Aktionen mit dem lange offenen Problem der Verbundenheit und zielt auf eine topologische Beschreibung von Milnors quadratischen Karten-„Scheiben“ ab. Mithilfe von ADA sollen mathematische Rätsel gelöst und versucht werden, Lösungen für algorithmische Herausforderungen vorzuschlagen und die Erforschung dieser komplizierten Universen voranzutreiben.
Ziel
This project lies at the nexus of complex and symbolic dynamics, group theory, decision problems and computation. It aims to solve major problems in each of these fields by means of automatic actions and relations.
Finite state automata, pervasive in theoretical computer science, will serve to define self-similar mathematical objects, and produce efficient algorithms to manipulate them. — I will explore a novel notion of automatically acting group, encompassing the previously unrelated notions of automatic groups, automata groups and substitutive shifts.
Geometric group theory propounds the vision of groups as geometric objects. A basic notion is volume growth, and Milnor's still open “gap problem” asks for its possible range. — In this proposal, I will give candidates of groups with very slow superpolynomial growth, defined by their automatic action on dynamical systems, and a proof strategy.
A celebrated open problem by Gromov asks whether all groups are “sofic”. This property has too many valuable consequences to always be true, yet there is no known non-example! — I will present a strategy of producing non-sofic groups closely associated to automata.
Rational maps on the Riemann sphere provide a rich supply of dynamical systems. A fundamental goal is to give a combinatorial description of the dynamics across families of maps, constructing models of parameter space. — I will encode the maps via automatic actions, and study relations between automata to produce such models. I aim to achieve a full topological description (including the long-open connectedness problem) of Milnor's “slices” of quadratic maps.
This project will tackle these fundamental questions from group theory and dynamics, and develop presently unexplored interactions between them, through a unified use of automata. It will prove decidability of certain algorithmic problems such as Dehn's and Tarski's, and construct efficient tools to further our exploration of these mathematical universes.
Wissenschaftliches Gebiet
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsGastgebende Einrichtung
66123 Saarbrucken
Deutschland