Opis projektu
Nowe granice matematyki w służbie dociekań naukowych
Zespół finansowanego przez ERBN projektu ADA działa w obszarze złożonej dynamiki i teorii grup. Zajmuje się on kluczowymi kwestiami w zakresie dynamiki symbolicznej, problemów decyzyjnych i obliczeń, wykorzystując automaty skończone do definiowania samopodobnych obiektów matematycznych. Wprowadza pojęcie grup działających automatyczni, łącząc dotychczas niespójne koncepcje. Projekt ADA przyczynia się do stworzenia pionierskich nowatorskich strategii, od rozwiązywania „problemu luki” Milnora po badanie grup niefunkcjonalnych związanych z automatami. Poprzez kodowanie racjonalnych map za pomocą automatycznych działań zespół zgłębia problem spójności, dążąc do stworzenia topologicznego opisu „plasterków” kwadratowej mapy Milnora. Zespół ADA rozwiązuje zagadki matematyczne w celu zaproponowania rozwiązań problemów algorytmicznych, które pomogą w eksploracji tych skomplikowanych zagadnień.
Cel
This project lies at the nexus of complex and symbolic dynamics, group theory, decision problems and computation. It aims to solve major problems in each of these fields by means of automatic actions and relations.
Finite state automata, pervasive in theoretical computer science, will serve to define self-similar mathematical objects, and produce efficient algorithms to manipulate them. — I will explore a novel notion of automatically acting group, encompassing the previously unrelated notions of automatic groups, automata groups and substitutive shifts.
Geometric group theory propounds the vision of groups as geometric objects. A basic notion is volume growth, and Milnor's still open “gap problem” asks for its possible range. — In this proposal, I will give candidates of groups with very slow superpolynomial growth, defined by their automatic action on dynamical systems, and a proof strategy.
A celebrated open problem by Gromov asks whether all groups are “sofic”. This property has too many valuable consequences to always be true, yet there is no known non-example! — I will present a strategy of producing non-sofic groups closely associated to automata.
Rational maps on the Riemann sphere provide a rich supply of dynamical systems. A fundamental goal is to give a combinatorial description of the dynamics across families of maps, constructing models of parameter space. — I will encode the maps via automatic actions, and study relations between automata to produce such models. I aim to achieve a full topological description (including the long-open connectedness problem) of Milnor's “slices” of quadratic maps.
This project will tackle these fundamental questions from group theory and dynamics, and develop presently unexplored interactions between them, through a unified use of automata. It will prove decidability of certain algorithmic problems such as Dehn's and Tarski's, and construct efficient tools to further our exploration of these mathematical universes.
Dziedzina nauki
Słowa kluczowe
Program(-y)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Temat(-y)
System finansowania
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstytucja przyjmująca
66123 Saarbrucken
Niemcy