Description du projet
Faire progresser la théorie des représentations des groupes réductifs sur les corps locaux
L’analyse harmonique nous aide à comprendre les systèmes physiques dans de nombreux domaines d’application. La théorie des représentations d’un groupe topologique est une analyse harmonique non-commutative sur le groupe. Financé par le Conseil européen de la recherche, le projet RelRepDist se concentrera sur la théorie des représentations des groupes réductifs (algébriques) sur des corps locaux, tels que le groupe linéaire général sur le corps des nombres réels ou le corps des nombres p-adiques. De nombreux outils pertinents pour cette théorie sont spécifiques à l’un ou l’autre type de domaine. Le projet permettra d’étendre l’application de plusieurs outils et de les rendre applicables à tous les domaines. Mettant en œuvre ces derniers, ainsi que les outils existants, plusieurs nouveaux résultats dans les analyses harmoniques non-commutatives seront obtenus. Les modèles de Whittaker généralisés et dégénérés figurent parmi les outils majeurs que ce projet vise à améliorer de manière significative.
Objectif
One can view the representation theory of a topological group as non-commutative harmonic analysis on the group. For compact groups this view is justified by the Peter-Weyl theorem. The relative representation theory of a group is harmonic analyses on spaces with transitive group action.
I work in relative representation theory of reductive (algebraic) groups over local fields, e.g. the general linear group over the field of real numbers or the field of p-adic numbers. This theory has applications to the theory of automorphic forms, in particular to the relative trace formula.
There are many similarities between the real and p-adic cases, and some results can be formulated uniformly for all local fields, but their proofs are usually specific to each type of local fields. An important tool in this theory, that is applicable for all local fields, is the analysis of equivariant distributions on the group. However, this analysis is quite different for the two kinds of fields.
In the first part of this proposal I describe my ongoing work on some tools that will help to approach invariant distributions uniformly for all fields. I also propose to advance, using those tools, towards the proofs of some long-standing conjectures on density of orbital integrals, comparison of Lie algebra homologies, and classification of (non-compact) Gelfand pairs.
The second part of this proposal concerns generalized Whittaker models, or equivalently harmonic analyses on the quotient of a reductive group by a unipotent subgroup. In 1987 Moeglen and Waldspurger comprehensively described the role of a representation in this harmonic analyses in terms of a certain collection of nilpotent orbits attached to this representation. This result, as well as previous results on Whittaker models have many applications in representation theory and in the theory of automorphic forms. I propose to obtain an archimedean analog of this result.
Champ scientifique
Programme(s)
Thème(s)
Régime de financement
ERC-STG - Starting GrantInstitution d’accueil
7610001 Rehovot
Israël