Opis projektu
Rozwój teorii reprezentacji grup redukcyjnych na ciałach lokalnych
Analiza harmoniczna pomaga nam zrozumieć układy fizyczne w wielu obszarach zastosowań. Teoria reprezentacji grupy topologicznej jest niekomutatywną analizą harmoniczną grupy. Finansowany przez Europejską Radę ds. Badań Naukowych projekt RelRepDist skupi się na teorii reprezentacji grup redukcyjnych (algebraicznych) na ciałach lokalnych, takich jak ogólna grupa liniowa na ciele liczb rzeczywistych lub ciele liczb p-adycznych. Wiele narzędzi istotnych dla tej teorii jest specyficznych dla jednego lub drugiego rodzaju ciała. Twórcy projektu rozbudują kilka narzędzi, by można było je stosować do wszystkich ciał. Wykorzystując je wspólnie z istniejącymi narzędziami, badacze uzyskają kilka nowych wyników w niekomutatywnych analizach harmonicznych. Wśród ważnych narzędzi, których ulepszenie ten projekt stawia sobie za cel ten, są uogólnione i zdegenerowane modele Whittakera.
Cel
One can view the representation theory of a topological group as non-commutative harmonic analysis on the group. For compact groups this view is justified by the Peter-Weyl theorem. The relative representation theory of a group is harmonic analyses on spaces with transitive group action.
I work in relative representation theory of reductive (algebraic) groups over local fields, e.g. the general linear group over the field of real numbers or the field of p-adic numbers. This theory has applications to the theory of automorphic forms, in particular to the relative trace formula.
There are many similarities between the real and p-adic cases, and some results can be formulated uniformly for all local fields, but their proofs are usually specific to each type of local fields. An important tool in this theory, that is applicable for all local fields, is the analysis of equivariant distributions on the group. However, this analysis is quite different for the two kinds of fields.
In the first part of this proposal I describe my ongoing work on some tools that will help to approach invariant distributions uniformly for all fields. I also propose to advance, using those tools, towards the proofs of some long-standing conjectures on density of orbital integrals, comparison of Lie algebra homologies, and classification of (non-compact) Gelfand pairs.
The second part of this proposal concerns generalized Whittaker models, or equivalently harmonic analyses on the quotient of a reductive group by a unipotent subgroup. In 1987 Moeglen and Waldspurger comprehensively described the role of a representation in this harmonic analyses in terms of a certain collection of nilpotent orbits attached to this representation. This result, as well as previous results on Whittaker models have many applications in representation theory and in the theory of automorphic forms. I propose to obtain an archimedean analog of this result.
Dziedzina nauki
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-STG - Starting GrantInstytucja przyjmująca
7610001 Rehovot
Izrael