Descripción del proyecto
Estudios sobre los límites uniformes en los puntos racionales de las variedades algebraicas
El objetivo del proyecto UnIntUniBd, financiado con fondos europeos, es estudiar los límites uniformes de los puntos racionales y algebraicos. Abarcará la conjetura de Mazur sobre el número de puntos en las curvas, que implica los 2 límites fuertes siguientes: el número de puntos racionales en una curva proyectiva suave del género g de al menos 2 definidos sobre un campo numérico de grado d se limita por encima en términos de g, d y el rango de Mordell-Weil; y el número de puntos de torsión algebraica en una curva proyectiva suave del género g al menos 2 se limita por encima solo en términos de g. El proyecto también tiene por objeto generalizar el primer límite a las subvariedades de mayor dimensión de las variedades abelianas y, en última instancia, ampliar los límites a las variedades semiabelianas. Como técnicas fundamentales del proyecto, también se investigarán la trascendencia funcional y los problemas de intersección poco probables.
Objetivo
I propose to investigate the following long expected but widely open uniform bounds on rational and algebraic points. (1) Mazur’s conjecture on the number of points on curves, which implies the following two strong bounds: (1.i) the number of rational points on a smooth projective curve of genus g at least 2 defined over a number field of degree d is bounded above in terms of g, d and the Mordell- Weil rank; (1.ii) the number of algebraic torsion points on a smooth projective curve of genus g at least 2 is bounded above only in terms of g. (2) Generalize the bound in (1) to higher dimensional subvarieties of abelian varieties. (3) Extend the bounds to semi-abelian varieties. Compared with existing results, the Faltings height is no longer involved in the bounds. The proofs I propose are via Diophantine estimates. Functional transcendence and unlikely intersections on mixed Shimura varieties play important roles in the proofs. Hence as pre-requests and extensions of the three goals listed above, I will also continue investigating on functional transcendence and unlikely intersection theories as well as their potential other interesting applications in Diophantine geometry.
Ámbito científico
Palabras clave
Programa(s)
Régimen de financiación
ERC-STG - Starting GrantInstitución de acogida
30167 Hannover
Alemania