Opis projektu
Badanie jednorodnej granicy punktów wymiernych rozmaitości algebraicznych
Finansowany ze środków UE projekt UnIntUniBd ma umożliwić przeprowadzenie badań nad jednorodnymi granicami punktów wymiernych i algebraicznych. Należą do nich hipoteza Mazura dotycząca liczby punktów na krzywych, która implikuje istnienie dwóch następujących mocnych granic: liczba punktów wymiernych na gładkiej krzywej rzutowej o genusie g wynoszącym co najmniej 2, zdefiniowanych nad ciałem liczbowym stopnia d jest ograniczona z góry przez genus g, stopień d i rząd grupy Mordella-Weila oraz liczba punktów torsji algebraicznych na gładkiej krzywej rzutowej o genusie g wynoszącym co najmniej 2 jest ograniczona z góry przez genus g. W ramach projektu podjęte zostaną starania uogólnienia pierwszej granicy do podrozmaitości rozmaitości abelowych wyższych wymiarów i ostatecznie rozszerzenia tych granic na rozmaitości półabelowe. Kluczowe dla tego projektu narzędzia – problemy przestępności funkcjonału i mało prawdopodobnych przecięć – również zostaną dogłębnie zbadane.
Cel
I propose to investigate the following long expected but widely open uniform bounds on rational and algebraic points. (1) Mazur’s conjecture on the number of points on curves, which implies the following two strong bounds: (1.i) the number of rational points on a smooth projective curve of genus g at least 2 defined over a number field of degree d is bounded above in terms of g, d and the Mordell- Weil rank; (1.ii) the number of algebraic torsion points on a smooth projective curve of genus g at least 2 is bounded above only in terms of g. (2) Generalize the bound in (1) to higher dimensional subvarieties of abelian varieties. (3) Extend the bounds to semi-abelian varieties. Compared with existing results, the Faltings height is no longer involved in the bounds. The proofs I propose are via Diophantine estimates. Functional transcendence and unlikely intersections on mixed Shimura varieties play important roles in the proofs. Hence as pre-requests and extensions of the three goals listed above, I will also continue investigating on functional transcendence and unlikely intersection theories as well as their potential other interesting applications in Diophantine geometry.
Dziedzina nauki
Słowa kluczowe
Program(-y)
Temat(-y)
System finansowania
ERC-STG - Starting GrantInstytucja przyjmująca
30167 Hannover
Niemcy