Description du projet
Étude des limites uniformes sur les points rationnels des variétés algébriques
Le projet UnIntUniBd, financé par l’UE, a pour objectif d’étudier les bornes uniformes de points rationnels et algébriques. Il s’agit notamment de la conjecture de Mazur sur le nombre de points sur les courbes, qui implique les deux limites fortes suivantes: le nombre de points rationnels sur une courbe projective lisse de genre g d’au moins 2 définie sur un champ de nombre de degrés d est limité ci-dessus en termes de g, d et le rang de Mordell-Weil; et le nombre de points de torsion algébriques sur une courbe projective lisse de genre g au moins 2 est limité ci-dessus uniquement en termes de g. Le projet vise également à généraliser la première limite aux sous-variétés de dimensions supérieures des variétés abéliennes, et à étendre finalement les limites aux variétés semi-abéliennes. La transcendance fonctionnelle et les problèmes d’intersection peu probables seront également étudiés en tant que techniques clés pour le projet.
Objectif
I propose to investigate the following long expected but widely open uniform bounds on rational and algebraic points. (1) Mazur’s conjecture on the number of points on curves, which implies the following two strong bounds: (1.i) the number of rational points on a smooth projective curve of genus g at least 2 defined over a number field of degree d is bounded above in terms of g, d and the Mordell- Weil rank; (1.ii) the number of algebraic torsion points on a smooth projective curve of genus g at least 2 is bounded above only in terms of g. (2) Generalize the bound in (1) to higher dimensional subvarieties of abelian varieties. (3) Extend the bounds to semi-abelian varieties. Compared with existing results, the Faltings height is no longer involved in the bounds. The proofs I propose are via Diophantine estimates. Functional transcendence and unlikely intersections on mixed Shimura varieties play important roles in the proofs. Hence as pre-requests and extensions of the three goals listed above, I will also continue investigating on functional transcendence and unlikely intersection theories as well as their potential other interesting applications in Diophantine geometry.
Champ scientifique
Mots‑clés
Programme(s)
Thème(s)
Régime de financement
ERC-STG - Starting GrantInstitution d’accueil
30167 Hannover
Allemagne