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Neue Einblicke in nicht-autonome dynamische Systeme

Komplexe dynamische Systeme - vom Klimawandel bis hin zu Finanzmärkten - können als "Kippschalter" fungieren (Bifurkationen in der Katastrophentheorie), bei denen eine plötzlich veränderte Bedingung das gesamte System aus dem Gleichgewicht bringen kann. Detaillierte Studien zu Nahverzweigungspunkten sollen nun dazu beitragen, Bifurkationseigenschaften zu und damit das dynamische Verhalten eines Systems zu steuern.

Grundlagenforschung

An Modellen lässt sich eine Vielzahl unvorhersehbarer Verhaltensweisen wie Planetenbewegungen im Sonnensystem oder Krankheitsentwicklung in der Bevölkerung beschreiben. Dynamische Systeme kommen häufig für Systemanalysen in vielfältigsten wissenschaftlichen Bereichen zum Einsatz. Bisher wurden in der Physik, Biologie, Ökologie, Ökonomie und im Ingenieurwesen mehrere lokale Bifurkationen (Sattel-Knoten, Transkritical, Pitchfork, Periodenverdopplung und Hopf-Bifurkationen) untersucht. Trotz Fortschritten auf dem Gebiet sind Bifurkationen bei nicht-autonomen dynamischen Systemen aber noch nicht hinreichend erforscht. Das EU-finanzierte Projekt LDNAD (Low-dimensional and non-autonomous dynamics) sollte neue Erkenntnisse und komplementäre Methoden für die nicht-autonome Bifurkationstheorie entwickeln, insbesondere bei nicht-autonomen Pendants klassischer Bifurkationsmuster in dynamischen Systemen. Schwerpunkt einer Studie zu nicht-autonomen Hopf-Bifurkationen war ein lange bestehendes Problem bei klassischen Hopf-Bifurkationsmustern, um ein zweistufiges Szenario für die nicht-autonome Bifurkation von Ludwig Arnold Hopf zu entwickeln. Die Forscher beschreiben dieses Szenario entweder mit deterministisch angetriebenen Modellen, die als kontinuierliche schiefe Produktsysteme für einen kompakten Produktraum behandelt werden können, oder als zufällig angetriebene Systeme, die durch maßgenaue Basistransformation zu schiefen Produkten werden. In diesem Szenario kann externer Antrieb zu einer Trennung der komplexen konjugierten Eigenwerte und damit zur zweistufigen Bifurkation führen, bei der sich ein invarianter "Torus" von einer zuvor stabilen zentralen Mannigfaltigkeit abspaltet. Nun bewiesen die Forscher, dass dieser Torus in jeder Faser aus einem topologischen Kreis besteht. Das Projektteam machte auch signifikante Fortschritte bei der Ergodentheorie. Da die lexikographische Ordnung eine partielle Ordnung bzw. stochastische Dominanz erster Ordnung induziert, wenn ihre verschiebungsinvariante Wahrscheinlichkeit ermittelt wird, untersuchten die Forscher nun die Feinstruktur dieser Dominanz und bewiesen, dass die Sturm'sche Invarianz in dieser Hinsicht vollständig geordnet ist. LDNAD lieferte neue Ergebnisse zu Bifurkationen in nicht-autonomen dynamischen Systemen, insbesondere zu Strukturveränderungen dynamischer Systeme bei variablen Parametern.

Schlüsselbegriffe

Dynamische Systeme, nicht-autonome Dynamik, LDNAD, Bifurkationstheorie, Ergodentheorie

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