Límites, distancias y otras medidas
Dado un cable circular, ¿cuál es el área de la superficie de la lámina de jabón que lo cubre? En términos ligeramente más matemáticos, el mismo problema sería: dada una curva de límite, ¿cuál es el área mínima que la cubre? Las distintas aproximaciones que han surgido para resolver este problema geométrico han hallado aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas modernas. Las técnicas y los conceptos de la teoría de la medida geométrica se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Estas han encontrado aplicación para el cálculo de variaciones y otras áreas. El proyecto «Dimension phenomena and curvature equations in Carnot groups» (CG-DICE)(se abrirá en una nueva ventana) miró más allá de la geometría de las superficies euclídeas y las curvas que minimizan la longitud sobre estas superficies. Los socios europeos del proyecto CG-CIDE, junto con sus colaboradores de Estados Unidos, se centraron en los grupos de Carnot, las estructuras más fundamentales de la geometría sub-riemanniana. Los avances en la geometría sub-riemanniana como la generalización de la geometría riemanniana se ven impulsadas por los resultados obtenidos en entornos euclídeos. Por su parte, los científicos de CG-DICE introdujeron nociones en los grupos de Carnot basadas en ideas de la geometría euclídea. En su investigación, estudiaron la evolución de las superficies en grupos de Carnot en términos de su curvatura intrínseca. El límite asintótico del flujo medio de curvatura proporciona superficies mínimas en entornos de Riemann y, por consiguiente, se utilizó el mismo enfoque en entornos sub-riemannianos. A continuación, se analizaron las aplicaciones para modelos de procesamiento de imágenes basados en el funcionamiento del córtex visual. Los científicos de CG-DICE también demostraron la existencia de soluciones de ecuaciones semilineales en grupos de Carnot asociados a ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones de orden mayor se llaman «ecuaciones de onda» porque se originan en una clase de ecuaciones de Maxwell y son satisfechas por potenciales vectoriales, como sucede en los entornos euclídeos. Mediante la descripción de las superficies con propiedades métricas que miden la distorsión del tamaño y la forma, se logró un conocimiento más profundo de los espacios riemannianos. La estructura geométrica influye y se ve influenciada por el comportamiento de las relaciones entre los espacios de origen y destino. Dichos conocimientos ofrecieron nuevas perspectivas de la teoría de la medida geométrica. Los resultados de la cuantificación de las propiedades analíticas de las relaciones se utilizaron para estudiar grafos métricos, fractales y otros entornos geométricos. Se han publicado o aceptado para publicar más de cien artículos sobre los hallazgos en revistas internacionales sometidas a revisión. Aunque se respondieron preguntas esenciales sobre los fenómenos dimensionales, quedan muchas cuestiones abiertas que se abordarán más allá del fin de la fase del proyecto CG-DICE financiada por la Unión Europea.
