Contorni, distanze e altre misure
Dato un cavo circolare, qual è l’area superficiale della pellicola di sapone che lo circonda? In termini leggermente più matematici, lo stesso problema sarebbe: data una curva limite, qual è l’area minima che la circonda? I diversi approcci emersi per risolvere questo problema geometrico hanno trovato applicazione in numerose aree della matematica moderna. Tecniche e concetti della teoria geometrica della misura sono utilizzati per risolvere equazioni differenziali parziali. Queste hanno trovato applicazione nel calcolo di variazioni e altre aree. Il progetto CG-DICE(si apre in una nuova finestra) (“Dimension phenomena and curvature equations in Carnot groups”) ha guardato oltre la geometria delle superfici euclidee e le curve che riducono al minimo la lunghezza su tali superfici. I partner europei del progetto CG-DICE, insieme ai loro collaboratori statunitensi, si sono concentrati sui gruppi di Carnot, le strutture più fondamentali nella geometria sub-riemanniana. I progressi nella geometria sub-riemanniana, come la generalizzazione della geometria riemanniana, sono stimolati dai risultati ottenuti in ambienti euclidei. Gli scienziati del progetto CG-DICE hanno introdotto nei gruppi di Carnot nozioni basate su idee della geometria euclidea. Nella loro ricerca, hanno studiato l’evoluzione delle superfici nei gruppi di Carnot per quanto riguarda la loro curvatura intrinseca. Il limite asintotico del flusso per curvatura media fornisce superfici minime in ambienti riemanniani, e pertanto lo stesso approccio è stato seguito in ambienti sub-riemanniani. Sono poi state studiate le applicazioni ai modelli di elaborazione di immagini basati sul funzionamento della corteccia visiva. I ricercatori di CG-DICE hanno anche dimostrato l’esistenza di soluzioni per equazioni semi lineari nei gruppi di Carnot associati a equazioni di Maxwell. Dette “equazioni d’onda” perché originate da una classe di equazioni di Maxwell, queste equazioni di ordine superiore sono soddisfatte da potenziali vettore (così come accade negli ambienti euclidei). Descrivendo superfici con proprietà metriche per la misurazione della distorsione di forma e dimensioni, è stata raggiunta una conoscenza più approfondita della mappatura degli spazi sub-riemanniani. La struttura geometrica influenza ed è influenzata dal comportamento delle mappature tra gli spazi di partenza e di arrivo. Tale conoscenza ha offerto nuove prospettive sulla teoria geometrica della misura. I risultati della quantificazione delle proprietà analitiche delle mappature sono stati utilizzati nello studio di grafici metrici, frattali e altri ambienti geometrici. Più di 100 articoli con i risultati sono stati pubblicati o accettati per la pubblicazione in riviste specializzate internazionali. Sebbene sia stata data risposta a domande cruciali sui fenomeni dimensionali, restano ancora molte questioni aperte che saranno analizzate dopo il compimento della fase finanziata dall’UE del progetto GC-DICE.
