Grenzen, Entfernungen und andere Messungen
Wie groß ist die Fläche eines Seifenfilms, der einen kreisförmigen Draht überspannt? Etwas mathematischer ausgedrückt: Wie groß ist die minimale Fläche über einer Randkurve? Die verschiedenen Ansätze, die man für die Lösung dieses geometrischen Problems entwickelt hat, haben Anwendungen in vielen Bereichen der modernen Mathematik gefunden. Mit Techniken und Konzepten der geometrischen Maßtheorie werden Differentialgleichungen gelöst. Sie werden für die Variationsrechnung und in anderen Bereichen eingesetzt. Das Projekt CG-DICE(öffnet in neuem Fenster) ("Dimension phenomena and curvature equations in Carnot groups") befasste sich mit Fragen jenseits der Geometrie der euklidischen Flächen und der längenminimierenden Kurven auf diesen Oberflächen. Die europäischen Partner von CG-DICE konzentrierten sich zusammen mit ihren US-amerikanischen Kollegen auf Carnot-Gruppen, den grundlegendsten Strukturen in der sub-Riemannschen Geometrie. Fortschritte in der sub-Riemannschen Geometrie, wie etwa deren Verallgemeinerung, werden durch Ergebnisse motiviert, die sich in euklidischen Umgebungen ergeben haben. Und die Wissenschaftler von CG-DICE haben Ideen aus der euklidischen Geometrie an Carnot-Gruppen angewandt. Sie studierten die Entwicklung von Flächen in Carnot-Gruppen hinsichtlich ihrer intrinsischen Krümmung. Weil die asymptotische Grenze des mittleren Krümmungsflusses im Riemann-System Minimalflächen bietet, wurde der gleiche Ansatz im sub-Riemannschen System verfolgt. Daraufhin untersuchte man die Anwendungen für Bildverarbeitungsmodelle aufbauend auf der Arbeitsweise des visuellen Kortex. Die Wissenschaftler bewiesen außerdem die Existenz von Lösungen für semilineare Gleichungen in Carnot-Gruppen im Zusammenhang mit Maxwellschen Gleichungen. Diese aufgrund ihrer Herkunft aus einer Maxwell-Klasse als "Wellengleichungen" bezeichneten Gleichungen höherer Ordnung wurden durch Vektor-Potentiale erfüllt (wie in der euklidischen Geometrie). Durch die Beschreibung von Oberflächen mit metrischen Eigenschaften zur Messung von Verzerrungen in Größe und Form wurde ein tieferes Verständnis der Zuordnung von sub-Riemannschen Räumen erreicht. Die geometrische Struktur beeinflusst das Verhalten der Zuordnung zwischen den Ziel- und Quellräumen und wird selbst davon beeinflusst. Ein solches Verständnis bot neue Sichtweisen auf die geometrische Maßtheorie. Mit den Ergebnissen der Quantifizierung der analytischen Eigenschaften der Zuordnungen wurden metrische Graphen, fraktale oder andere geometrische Umgebungen untersucht. Die Ergebnisse führten zu mehr als 100 in internationalen Fachzeitschriften veröffentlichten oder zur Veröffentlichung vorgesehenen Artikeln. Während entscheidende Fragen zu Dimensionsphänomenen beantwortet wurden, bleiben viele Fragen offen, mit denen man sich auch noch nach Auslaufen der EU-Förderung des CG-DICE-Projekts befassen wird.
Schlüsselbegriffe
Geometrie, geometrische Maßtheorie, Differentialgleichungen, Krümmung, visueller Kortex
