Granice, odległości i inne pomiary
Jeśli spojrzeć na przewód kołowy, który obszar powierzchniowy roztworu mydlanego go obejmuje? Ten sam problem w ujęciu nieco bardziej matematycznym będzie brzmiał następująco: jeśli spojrzeć na krzywą graniczną, który z obszarów jest minimalnym, który ją obejmuje? Różne podejścia, które powstały, by rozwiązać ten problem geometryczny, znalazły zastosowanie w wielu obszarach współczesnej matematyki. Techniki i koncepcje wywodzące się z teorii pomiaru geometrycznego wykorzystywane są do rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych. Znalazły one zastosowanie w rachunku wariacyjnym i innych obszarach. W projekcie "Dimension phenomena and curvature equations in Carnot groups" (CG-DICE)(odnośnik otworzy się w nowym oknie) spojrzano poza geometrię przestrzeni euklidesowych i minimalizujące długość krzywe na tych przestrzeniach. Europejscy partnerzy projektu CG-DICE, wraz ze współpracownikami z USA, skupili się na grupach Carnota, najbardziej fundamentalnych strukturach w geometrii podriemanowskiej. Postępy w dziedzinie tej geometrii, jako uogólnienia geometrii riemanowskiej, stymulowane są przez wyniki uzyskane w ustawieniach euklidesowych. Zespół projektu CG-DICE przedstawił natomiast pojęcia w grupach Carnota w oparciu o wyobrażenia geometrii euklidesowej. W swoim badaniu naukowcy zbadali ewolucję przestrzeni w grupach Carnota pod względem ich wewnętrznej krzywizny. Limit asymptotyczny przepływu średniej krzywizny zapewnia minimalne powierzchnie w ustawieniach Riemanna i dlatego to samo podejście przyjęto w ustawieniach podriemanowskich. Następnie zbadano zastosowania w modelach przetwarzania obrazu oparte na sposobie działania kory wzrokowej. Zespół projektu CG-DICE dowiódł także istnienia rozwiązań równań półliniowych w grupach Carnota towarzyszących równaniom Maxwella. Te równania wyższego rzędu, zwane "równaniami falowymi" ze względu na ich pochodzenie od klasy równań Maxwella, zaspokojono potencjałami wektorowymi zawartymi w ustawieniach euklidesowych. Opisując powierzchnie o właściwościach metrycznych mierzących zniekształcenie wielkości i kształtu, udało się lepiej zrozumieć odwzorowania przestrzeni podriemanowskich. Struktura geometryczna wpływa na, a jednocześnie jest pod wpływem zachowania odwzorowań między przestrzenią docelową a źródłową. Wiedza ta oferuje nowe spojrzenie na teorię pomiaru geometrycznego. Wyniki kwantyfikacji właściwości analitycznych odwzorowań wykorzystano w badaniu wykresów metrycznych, fraktali i innych środowisk geometrycznych. Ponad 100 artykułów przedstawiających nowe odkrycia opublikowano lub przyjęto do publikacji w międzynarodowych magazynach naukowych. Choć udało się znaleźć odpowiedź na zasadnicze pytania dotyczące zjawiska wymiaru, wiele kwestii wciąż pozostaje otwartych, a odpowiedzi na nie szukać będą członkowie projektu CG-DICE w dalszym, niefinansowanym przez UE etapie jego realizacji.
