Les limites, les distances et autres mesures
Avec un fil circulaire, quelle est la surface du film de savon qui le couvre? En termes légèrement plus mathématiques, le même problème serait: avec une courbe de limite, quelle serait la surface minimale qui la couvrirait? Les approches différentes qui ont émergé pour résoudre ce problème géométrique ont trouvé des applications dans de nombreux domaines des mathématiques modernes. Des techniques et concepts de la théorie de la mesure géométrique sont utilisés pour résoudre des équations différentielles partielles. Ils ont trouvé des applications dans le calcul des variations et d'autres domaines. Le projet CG-DICE(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) («Dimension phenomena and curvature equations in Carnot groups») est allé au-delà de la géométrie des surfaces euclidiennes et des courbes minimisant la longueur sur ces surfaces. Les partenaires européens du projet CG-DICE, avec leurs collaborateurs américains, se sont arrêtés aux groupes Carno, les structures les plus fondamentales de la géométrie sous-riemannienne. Les progrès de la géométrie sous-riemannienne de même que la généralisation de la géométrie riemannienne sont stimulés par les résultats obtenus dans les paramètres euclidiens. Et les scientifiques du CG-DICE ont introduit des notions dans les groupes Carnot basées sur des idées de la géométrie euclidienne. Dans leurs recherches, ils ont étudié l'évolution des surfaces dans les groupes Carnot en termes de courbure intrinsèque. La limite asymptotique du flux de courbure moyen donne des surfaces minimales dans les paramètres riemanniens, et dès lors, la même approche a été suivie dans les paramètres sous-riemanniens. Les applications sur les modèles de traitement des images basées sur la manière dont fonctionne l'aire visuelle ont alors été explorées. Les scientifiques du CG-DICE ont également prouvé l'existence de solutions pour les équations semi-linéaires dans les groupes Carnot associés aux équations de Maxwell. Appelées «équations d'onde» en raison de leur origine d'une classe d'équations de Maxwell, ces équations d'ordre supérieur ont été satisfaites par des potentiels vecteurs (comme dans les paramètres euclidiens). En décrivant des surfaces avec des propriétés métriques mesurant la distorsion de taille et de forme, ils sont arrivés à une meilleure compréhension des espaces sous-riemanniens. La structure géométrique influence et est influencée par le comportement des mappages entre les espaces source et cible. Une telle compréhension a offert de nouvelles perspectives sur la théorie de la mesure géométrique. Les résultats de la quantification des propriétés analytiques des mappages ont été utilisés dans l'étude des graphiques métriques, fractales et autres environnements géométriques. Plus de 100 articles avec les découvertes ont été publiés ou acceptés pour publication dans des revues internationales à comité de lecture. Alors que des réponses ont été données à de nombreuses questions cruciales sur les phénomènes des dimensions, de nombreuses questions restent en suspens et ne seront traitées qu'au terme de la phase financée par l'UE du projet CG-DICE.
