Die mathematische Seite der Physik
Bis in die 1960er Jahre blieb die spektrale Analyse von nicht-selbstadjungierten Operatoren, die etwa in phänomenologischen Modellen der Kernstreuung vorkommen, weitgehend unerforschtes Gebiet. Die Spektrumstruktur von eindimensionalen und dreidimensionalen Schrödinger-Operatoren war bekannt, aber es gab viele Schwierigkeiten bei der Untersuchung dieser Operatoren. Selbst eine kleine nicht-selbstadjungierte Störung konnte ein Punktspektrum mit extrem komplexer Struktur erzeugen. Standardwerkzeuge der spektralen Theorie und Variationsprinzipien waren daher nicht anwendbar. Insofern fehlte es an einem tiefen theoretischen Verständnis der nicht-selbstadjungierten Operatoren, auch wenn es viele Erkenntnisse aus der mathematischen Physik gab. Die Mathematiker des EU-finanzierten Projekts SPECANSO (Spectral analysis of non-selfadjoint and selfadjoint operators – new methods and applications) nutzten jüngste Entwicklungen in den Techniken für diese Differentialoperatoren. Dazu gehörten Funktionsmodelle sowie die Verwendung von sogenannten Boundary Triples. Boundary Triples ermöglichen die Einführung von Dirichlet-zu-Neumann-Karten in verschiedene Differentialoperatoren. Diese werden vollständig von Boundary-Daten bestimmt, die zu interessanten inversen Probleme führen. Die Wissenschaftler von SPECANSO verfolgten einen neuen Ansatz für die Anwendung von Funktionsmodellen auf der Basis der Boundary-Triple-Idee. Die Beziehung zwischen generalisierten Dirichlet-zu-Neumann-Karten und Resolventen-Sätzen, für die das Verhalten der Operatoren mit dem Spektralsatz beschrieben werden kann, wurde ebenfalls untersucht. Die Bemühungen von SPECANSO zu Resolventen-Sätzen richteten sich auf beide Seiten und konzentrierten sich auf das adjungierte Gegenstück des Operators. Darüber hinaus berücksichtigten die Forscher einige erste Anwendungen des spektralen Satzes für selbstadjungierte Operatoren bis zu dissipativen Operatoren, einschließlich nicht-selbstadjungierter Operatoren. Die Analyse von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, deren Koeffizienten lokale Singularitäten mit ausreichend hoher Ordnung haben, führte zu neuen Phänomenen. Die Fortschritte, die im Rahmen von SPECANSO in allen verschiedenen Richtungen gemacht wurden, können auch Auswirkungen verwandte mathematische Zweige haben. In gewissem Sinne dienten nicht-selbstadjungierte singuläre Operatoren und insbesondere die Schrödinger-Operatoren als Testgebiet für Methoden und Theorien.
Schlüsselbegriffe
Spektralanalyse, Differentialoperatoren, Kernstreuung, Schrödinger-Operatoren, mathematische Physik
