Matematyczne aspekty fizyki
Do lat 60. XX w. analiza widmowa operatorów niesamosprzężonych, które występują przykładowo w modelach fenomenologicznych rozpraszania jądrowego, pozostawała w dużej mierze tzw. terra incognita. Struktura widmowa jednowymiarowych i trójwymiarowych operatorów Schröedingera była co prawda znana, jednak ich badanie przysparzało wielu trudności. Nawet niewielkie zaburzenie niesamosprzężone mogło wygenerować widmo punktowe o ekstremalnie bogatej strukturze. W związku z tym standardowe narzędzia teorii widmowej i zasady wariacyjne nie miały zastosowania. W rezultacie, choć fizycy matematyczni poczynili wiele odkryć, wciąż nie rozumiano dogłębnie teoretycznych aspektów operatorów niesamosprzężonych. Matematycy uczestniczący w projekcie SPECANSO (Spectral analysis of non-selfadjoint and selfadjoint operators – new methods and applications), finansowanym przez UE, wykorzystali najnowsze postępy w technikach dotyczących tych operatorów różniczkowych. Obejmowały one modele funkcjonalne oraz wykorzystanie tak zwanych trójek brzegowych. Trójki brzegowe pozwalają na wprowadzenie map typu Dirichleta-Neumanna do różnych operatorów różniczkowych. Są one całkowicie ukierunkowane przez dane brzegowe prowadzące do interesujących problemów odwrotności. Zespół projektu SPECANSO przyjął nowe podejście do zastosowania modeli funkcjonalnych opartych na pojęciu trójek brzegowych. Zbadano również zależność między uogólnionymi mapami Dirichleta-Neumanna i zbiorami rezolwentnymi, dla których zachowanie operatorów można opisać twierdzeniem widmowym. Działania zespołu SPECANSO skupiły się na zbiorach rezolwentnych graniczących po obu stronach i uznawanych za odpowiednik sprzężony operatora. Ponadto uwzględniały niektóre z pierwszych zastosowań twierdzeń widmowych dla operatorów samosprzężonych po operatorów rozpraszających, w tym operatorów niesamosprzężonych. Analiza równań zwyczajnych i różniczkowych cząstkowych, których współczynniki mają lokalne osobliwości dostatecznie wysokiego poziomu, doprowadziła do zaobserwowania nowego zjawiska. Postępy dokonane w ramach projektu SPECANSO w wielu różnych aspektach mogą mieć implikacje dla pokrewnych gałęzi matematycznych. W pewnym sensie pojedyncze operatory niesamosprzężone, a zwłaszcza operatory Schrödingera, zawsze pełniły rolę poligonu dla nowych metod i teorii.
Słowa kluczowe
Analiza widmowa, operator różniczkowy, rozpraszanie jądrowe, operator Schrödingera, fizyka matematyczna
