Nuevos modelos matemáticos del crecimiento tumoral
Los procesos en los que se producen transiciones de fase de la materia (p. ej. de sólido a líquido cuando se funde el hielo) se pueden modelizar matemáticamente utilizando ecuaciones diferenciales parciales (EDP). La ecuación del calor, por ejemplo, es una EDP que describe la distribución del calor (o la variación de la temperatura) en una zona determinada a lo largo del tiempo. Cuando los estados entre los que se produce la transición tienen fronteras o interfaces móviles que separan las dos fases, las discontinuidades que resultan entre las interfaces complican la modelización matemática. Por ejemplo, un bloque de hielo que justo empieza a fundirse tiene una frontera entre las fases líquida y sólida con una distribución de temperaturas desconocida y variable en el tiempo. Para resolver este problema llamado de valores de frontera (BVP), los matemáticos aplican la condición de frontera de Stefan, que tiene en cuenta el movimiento de fronteras desconocidas. El proyecto BVPSYMMETRY (Reductions and exact solutions of boundary value problems with moving boundaries by means of symmetry based methods), financiado por la Unión Europea, pretendía encontrar soluciones a las BVP utilizando algoritmos nuevos y aplicar estos algoritmos a modelos físicos y biológicos. Puesto que, a menudo, los sistemas biológicos y físicos complejos se comportan de formas incoherentes, resulta difícil modelizarlos mediante ecuaciones matemáticas normales. Utilizando el análisis de simetrías de Lie, BVPSYMMETRY redujo las ecuaciones BVP a su forma normal con el fin de hallar soluciones exactas para problemas complejos en 2D y 3D. Con el fin de demostrar sus algoritmos, los investigadores las probaron en modelos de transferencia de calor y de dinámica de poblaciones y, después, aplicaron sus fundamentos matemáticos a BVP más complicados, como problemas multidimensionales y problemas con fronteras móviles, como modelos de flujos de gases turbulentos. Los modelos de crecimiento tumoral se pueden describir utilizando modelos matemáticos que incorporan BVP con fronteras móviles. En este caso, las ecuaciones incluyen la difusión, proliferación y extensión de las células tumorales, fenómenos cuyas velocidades no son constantes y dependen de varios factores. BVPSYMMETRY simplificó el BVP multidimensional del crecimiento tumoral para desarrollar un modelo 1D que también se puede aplicar a sistemas multidimensionales complejos. Los modelos futuros también pueden incorporar los ritmos de destrucción de las células en las ecuaciones, lo cual permitiría predecir la posible eficacia de distintos tratamientos.
Palabras clave
Modelos matemáticos, crecimiento tumoral, EDP, fronteras móviles, BVP, análisis de simetrías de Lie
