Nuovi modelli matematici per la crescita tumorale

Alcuni matematici stanno sviluppando nuovi algoritmi per modellizzare sistemi complessi fisici e biologici in due fasi come flussi di gas turbolenti, processi di fusione-evaporazione e la crescita tumorale.

Salute

I processi in cui sono importanti le transizioni da una fase all’altra (ad esempio il passaggio da stato solido a liquido nella fusione del ghiaccio) possono essere modellizzati matematicamente tramite equazioni differenziali parziali (PDE). L’equazione del calore, per esempio, è una PDE che descrive la distribuzione del calore (o variazione nella temperatura) in una determinata regione nel corso del tempo. Quando gli stati in transizione hanno limiti o interfacce mobili che separano le due fasi, le discontinuità risultanti attraverso le interfacce complicano la modellizzazione matematica. Ad esempio, un blocco di ghiaccio che sta appena iniziando a fondersi ha un confine tra fase liquida-solida che presenta una distribuzione della temperatura variabile, non nota, nel corso del tempo. Per risolvere questo cosiddetto problema di valore limite (BVP), i matematici applicano la condizione limite di Stefan che rappresenta il movimento di limiti non noti. Il progetto BVPSYMMETRY (Reductions and exact solutions of boundary value problems with moving boundaries by means of symmetry based methods), finanziato dall’UE, si proponeva di trovare soluzione per i BVP, tramite nuovi algoritmi nei modelli fisici e biologici. Dato che sistemi biologici e fisici complessi spesso si comportano in modo non uniforme, è difficile crearne modelli utilizzando equazioni matematiche normali. Tramite l’analisi di simmetria di Lie, BVPSYMMETRY ha ridotto le equazioni BVP nella loro forma normale, per trovare soluzioni esatte per problemi 2D e 3D complessi. Per dimostrare i loro algoritmi, i ricercatori li hanno testati in modelli di trasferimento di calore e di dinamica delle popolazioni; poi, hanno applicato i loro fondamenti teorici a BVP più complicati, tra cui problemi multidimensionali e problemi con limiti mobili, come i modelli di flussi di gas turbolenti. I modelli di crescita tumorale possono essere descritti mediante modelli matematici che inglobano BVP con confini mobili. In questo caso, le equazioni includono la diffusione, la proliferazione e la propagazione delle cellule tumorali, le cui percentuali non sono costanti e dipendono da molteplici fattori. BVPSYMMETRY ha semplificato il BVP multidimensionale della crescita tumorale, sviluppando un modello a 1D che potrebbe essere applicato ad altri sistemi multidimensionali complessi. È possibile che futuri modelli incorporino nelle equazioni percentuali di uccisione delle cellule, consentendo ai medici di prevedere la probabile efficacia di vari trattamenti.