Nowe modele matematyczne wzrostu guza
Procesy, w których materia przechodzi z jednej fazy do innej (np. ciało stałe w ciecz podczas topnienia lodu), mogą być matematycznie modelowane przy użyciu równań różniczkowych cząstkowych. Dla przykładu, równanie przewodnictwa cieplnego jest równaniem różniczkowym cząstkowym opisującym rozkład ciepła (lub różnice temperatury) w danym obszarze względem czasu. Podczas przejścia fazowego zmianie ulegają warunki brzegowe, czyli powierzchnia styku, która oddziela dwie fazy. Wynikłe z tego nieciągłości wzdłuż powierzchni styku komplikują modelowanie matematyczne. Dla przykładu, blok lodu rozpoczynający topnienie ma warunek brzegowy określony zmiennym, nieznanym rozkładem temperatury względem czasu na styku ciała stałego i cieczy. Aby rozwiązać te tak zwane zagadnienia brzegowe, matematycy zastosowali warunek brzegowy Stefana, który bierze pod uwagę ruch nieznanych brzegów. Uczestnicy finansowanego przez UE projektu BVPSYMMETRY (Reductions and exact solutions of boundary value problems with moving boundaries by means of symmetry based methods) mieli na celu znalezienie rozwiązań zagadnień brzegowych przy użyciu nowych algorytmów oraz zastosować je w modelach fizycznych i biologicznych. Jako że skomplikowane układy biologiczne i fizyczne często zachowują się w niekonsekwentny sposób, są one trudne do modelowania przy użyciu standardowych równań matematycznych. Przy użyciu analizy metodą symetrii Liego uczestnicy projektu BVPSYMMETRY zredukowali równania zagadnienia brzegowego do postaci normalnej, aby znaleźć dokładne rozwiązania skomplikowanych problemów o dwóch i trzech wymiarach. W celu udowodnienia słuszności algorytmów badacze przetestowali je w modelach przenoszenia ciepła i dynamiki populacji, a następnie zastosowali ich podstawy teoretyczne do bardziej skomplikowanych zagadnień brzegowych. Należą do nich wielowymiarowe problemy i te z ruchomymi brzegami, takie jak modele turbulentnego przepływu gazu. Modele wzrostu guza mogą być opisane przy pomocy modeli matematycznych obejmujących zagadnienie brzegowe o ruchomych brzegach. W tym przypadku równania obejmują dyfuzję, proliferację i rozprzestrzenianie komórek guza, których tempo nie jest stałe i zależy od wielu czynników. Uczestnicy projektu BVPSYMMETRY uprościli wielowymiarowe zagadnienie brzegowe wzrostu guza, aby stworzyć jednowymiarowy model, użyteczny również do innych skomplikowanych systemów wielowymiarowych. Przyszłe modele mogą też uwzględniać w równaniach wskaźniki zabitych komórek, co pozwoli lekarzom przewidywać prawdopodobieństwo skuteczności różnych metod leczniczych.
