De nouveaux modèles mathématiques pour la croissance tumorale
Les processus dans lesquels la matière passe d'un état à l'autre (comme la transition de l'état solide à liquide lorsqu'un glaçon font) peuvent être mathématiquement modélisés à l'aide d'équations différentielles partielles (PDE). L'équation thermique, par exemple, une PDE décrivant la distribution de la chaleur (ou la variation de température) d'une région à un moment donné. Lorsque les états en transition ont des limites perméables ou des interfaces qui séparent deux phases, les discontinuités résultantes entre interfaces compliquent la modélisation mathématique. Par exemple, un bloc de glace vient de fondre à une limite de phase liquide-solide en fonction d'une distribution de température inconnue. Pour résoudre ce problème de valeur limite (BVP), les mathématiciens appliquent le problème de Stefan, un problème de changement de phase qui représente les mouvements de limites valeurs. Le projet BVPSYMMETRY (Reductions and exact solutions of boundary value problems with moving boundaries by means of symmetry based methods), financé par l'UE, cherchait à trouver des solutions aux BVP en utilisant de nouveaux algorithmes et à appliquer ces derniers dans les modèles biologiques et physiques. Puisque les systèmes physiques et biologiques complexes se comportent de manière incohérente, ils sont difficiles à modéliser en utilisant des équations mathématiques normales. Grâce à la théorie de groupe de Lie, BVPSYMMETRY a réduit les équations de BVP en forme normale pour trouver des solutions exactes aux problèmes complexes de 2 et 3D. Pour démontrer leurs algorithmes, les chercheurs les ont testé dans les modèles de dynamique démographique et de transfert de chaleur et ont appliqué ces fondements théoriques à des BVP plus compliqués, dont des problèmes multidimensionnels et ceux impliquant des limites perméables, comme les modèles de flux de gaz turbulent. Les modèles de croissance tumorale peuvent être décrits en utilisant des modèles mathématiques incorporant des BVP avec des valeurs perméables. Dans ce cas, les équations incorporent la diffusion, la prolifération et la diffusion des cellules tumorales, dont leur vitesse n'est pas constante et dépendent de plusieurs facteurs. BVPSYMMETRY a simplifié la BVP de la croissance tumorale multidimensionnelle pour développer un modèle unidimensionnel qui peut aussi être appliqué à d'autres systèmes multidimensionnels complexes. Les prochains modèles pourront inclure des vitesses apoptotiques de cellules dans ces équations, permettant aux médecins de prédire comment les différents traitements efficaces fonctionneront.
Mots‑clés
Modèles mathématiques, croissance tumorale, PDE, limites perméables, BVP, analyse de la symétrie de Lie
